Question

6．如圖，點(diǎn)P是直線l：y=-2x-2上的點(diǎn)，過點(diǎn)P的另一條直線m交拋物線y=x²于A，B兩點(diǎn)．
（1）若直線m的解析式為y=-x+2，求P，A，B三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，2），當(dāng)PA=PB時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）求證：對于直線l上任意一點(diǎn)P，在拋物線上都能找到兩個(gè)不同位置的點(diǎn)A，使得PA=PB成立？

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立拋物線y=x²與直線y=-2x-2的解析式，求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；兩個(gè)一次函數(shù)聯(lián)立方程組求得點(diǎn)P坐標(biāo)；
（2）設(shè)A（m，m²），分別過點(diǎn)P、A、B作x軸垂線，垂足分別為點(diǎn)G、E、F，再利用梯形的性質(zhì)得出B點(diǎn)坐標(biāo)，代入y=x²求出m的值即可得出A點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）首先設(shè)P（a，-2a-2），A（m，m²），再表示出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用根的判別式求出，無論a為何值時(shí)，關(guān)于m的方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而得出答案．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A、B是拋物線y=x²與直線y=-x+2的交點(diǎn)，
∴x²=-x+2，
解得x=-2或x=1．
當(dāng)x=-2時(shí)，y=4；當(dāng)x=1時(shí)，y=1，
∴A（-2，4），B（1，1）．
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-2}\\{y=-x+2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P（-4，6）；

（2）設(shè)A（m，m²），如圖1所示，

分別過點(diǎn)P、A、B作x軸垂線，垂足分別為點(diǎn)G、E、F．
∵PA=AB，
∴AE是梯形PGFB的中位線，
∴GE=EF，AE=$\frac{1}{2}$（PG+BF）．
∵OF=|EF-OE|，GE=EF，
∴OF=|GE-EO|
∵GE=GO-EO=2+m，EO=-m，
∴OF=|2+m-（-m）|=|2+2m|，
∴OF=2m+2，
∵AE=$\frac{1}{2}$（PG+BF），
∴BF=2AE-PG=2m²-2，
∴B（2+2m，2m²-2）．
∵點(diǎn)B在拋物線y=x²上，
∴2m²-2=（2+2m）²
解得：m=1或-3，
當(dāng)m=-1時(shí)，m²=1；當(dāng)m=-3時(shí)，m²=9
故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，1）或（-3，9）．

（3）證明：設(shè)P（a，-2a-2），A（m，m²）．
如圖1所示，

分別過點(diǎn)P、A、B作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)G、E、F．
∵PA=AB，∴AE是梯形PGFB的中位線，
∴GE=EF，AE=$\frac{1}{2}$（PG+BF）．
∵OF=|EF-OE|，GE=EF，
∴OF=|GE-EO|
∵GE=GO-EO=m-a，EO=-m，
∴OF=|m-a-（-m）|=|2m-a|，
∴OF=2m-a，
∵AE=$\frac{1}{2}$（PG+BF），
∴BF=2AE-PG=2m²+2a+2，
可得：B（2m-a，2m²+2a+2）．
∵點(diǎn)B在拋物線y=x²上，
∴2m²+2a+2=（2m-a）²
整理得：2m²-4am+a²-2a-2=0．
△=8（a+1）²+8＞0，
∴無論a為何值時(shí)，關(guān)于m的方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
即對于任意給定的點(diǎn)P，拋物線上總能找到兩個(gè)滿足條件的點(diǎn)A，使得PA=AB成立．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、梯形及梯形中位線一元二次方程等知識點(diǎn)，有一定的難度．掌握二次函數(shù)、一次函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正確表示出B點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．