Question

（2012•岳陽(yáng)）我們常見(jiàn)的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物線面，經(jīng)過(guò)鍋心和蓋心的縱斷面是兩端拋物線組合而成的封閉圖形，不妨簡(jiǎn)稱為“鍋線”，鍋口直徑為6dm，鍋深3dm，鍋蓋高1dm（鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同），建立直角坐標(biāo)系如圖①所示，如果把鍋縱斷面的拋物線記為C₁，把鍋蓋縱斷面的拋物線記為C₂．
（1）求C₁和C₂的解析式；
（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)B作直線BE：y=

1

3

x-1交C₁于點(diǎn)E（-2，-

5

3

），連接OE、BC，在x軸上求一點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的△PBC與△BOE相似，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如果（2）中的直線BE保持不變，拋物線C₁或C₂上是否存在一點(diǎn)Q，使得△EBQ的面積最大？若存在，求出Q的坐標(biāo)和△EBQ面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）已知A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可確定兩函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)直線BE：y=

1

3

x-1知，該直線必過(guò)（0，-1）點(diǎn)，那么∠EBO=∠CBO，若以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的△PBC與△BOE相似，那么夾這組對(duì)應(yīng)角的對(duì)應(yīng)邊必成比例，先求出BC、BO、BE的長(zhǎng)，然后分情況根據(jù)線段間的比例關(guān)系求出BP的長(zhǎng)，進(jìn)而得到OP的長(zhǎng)，即可確定P點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）△EBQ中，BE長(zhǎng)為定值，若以BE為底，當(dāng)△EBQ的面積最大時(shí)，Q到直線BE的距離最大；由于點(diǎn)Q可能在拋物線C₁或C₂上，因此兩種情況都要解一下，最后通過(guò)比較得到能使△EBQ面積最大的Q點(diǎn)．首先作直線l∥BE，分別令直線l與拋物線C₁、C₂有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，那么符合條件的Q點(diǎn)必在這兩個(gè)交點(diǎn)中，先求出這兩個(gè)交點(diǎn)分別到直線BE的距離，距離大者符合條件，由此可得到Q點(diǎn)坐標(biāo)和△EBQ的面積最大值．

解答：解：（1）由于拋物線C₁、C₂都過(guò)點(diǎn)A（-3，0）、B（3，0），可設(shè)它們的解析式為：y=a（x-3）（x+3）；
拋物線C1還經(jīng)過(guò)D（0，-3），則有：
-3=a（0-3）（0+3），a=

1

3

即：拋物線C₁：y=

1

3

x²-3（-3≤x≤3）；
拋物線C₂還經(jīng)過(guò)C（0，1），則有：
1=a（0-3）（0+3），a=-

1

9

即：拋物線C₂：y=-

1

9

x²+1（-3≤x≤3）．

（2）由于直線BE：y=

1

3

x-1必過(guò)（0，-1），所以∠CBO=∠EBO（tan∠CBO=tan∠EBO=

1

3

）；
由E點(diǎn)坐標(biāo)可知：tan∠AOE≠

1

3

，即∠AOE≠∠CBO，所以它們的補(bǔ)角∠EOB≠∠CBx；
若以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的△PBC與△BOE相似，只需考慮兩種情況：
①∠CBP₁=∠EBO，且OB：BE=BP₁：BC，即：
3：

5 10

3

=BP₁：

10

，得：BP₁=

9

5

，OP₁=OB-BP₁=

6

5

；
∴P₁（

6

5

，0）；
②∠P₂BC=∠EBO，且BC：BP₂=OB：BE，即：

10

：BP₂=3：

5 10

3

，得：BP₂=

50

9

，OP₂=BP₂-OB=

23

9

；
∴P₂（-

23

9

，0）；
綜上，符合條件的P點(diǎn)有：P₁（

6

5

，0）、P₂（-

23

9

，0）．
（3）如圖，作直線l∥直線BE，設(shè)直線l：y=

1

3

x+b；
①當(dāng)直線l與拋物線C₁只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)：

1

3

x+b=

1

3

x²-3，即：x²-x-（3b+9）=0，
∴△=1+4（3b+9）=0，
解得，3b+9=-

1

4

，
∴x²-x+

1

4

=0
∴該交點(diǎn)Q₂（

1

2

，-

35

12

）；
Q₂到直線 BE：

1

3

x-y-1=0 的距離：

| 1 2 × 1 3 +(- 35 12 )×(-1)+(-1)|

( 1 3 )2+(-1)2

=

5 10

8

=

25 10

40

；
②當(dāng)直線l與拋物線C₂只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)：

1

3

x+b=-

1

9

x²+1，即：x²+3x+9b-9=0，
∴該交點(diǎn)Q₁（-

3

2

，

3

4

）；
Q₁到直線 BE：

1

3

x-y-1=0 的距離：

|(- 3 2 )× 1 3 +(-1)× 3 4 +(-1)|

( 1 3 )2+(-1)2

=

27 10

40

；
∴符合條件的Q點(diǎn)為Q₁（-

3

2

，

3

4

）；
△EBQ的最大面積：S_max=

1

2

×BE×

27 10

40

=

45

8

．
方法二：
當(dāng)點(diǎn)Q在C₁上時(shí)，可設(shè)Q（x，

1

3

x²-3），過(guò)Q作QM平行y軸交BE于M，則M（m，

1

3

x-1），
則BM=

1

3

x-1-（

1

3

x²-3）=-

1

3

（x+0.5）²+

25

12

，所以當(dāng)x=-0.5時(shí)BM最大值為

25

12

，
所以 S△EBQ最大=S△EQM+S△BQM=

1

2

（xB-xE）×

25

12

=0.5×5×

25

12

=

125

24

，
同理可得，Q在C ₂上時(shí)，最大面積為

45

8

，
綜上最大面積為

45

8

．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題．該題的難度和計(jì)算量都比較大，涉及了函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)、圖形面積的解法等重點(diǎn)知識(shí)；解答（2）題時(shí)，應(yīng)注意分不同的對(duì)應(yīng)邊來(lái)進(jìn)行討論，以免漏解．（3）的難度較大，點(diǎn)到直線的距離公式【點(diǎn)（x₀，y₀）到直線（Ax+By+C=0）的距離為：d=

|Ax0+By0+C|

A2+B2

】是需要記住的內(nèi)容．另外，題目在設(shè)計(jì)時(shí)結(jié)合了一定的生活元素，形式較為新穎．