Question

7．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC=10，BD=24，
（1）點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在PE+PF的最小值，則這個(gè)最小值是13；
（2）點(diǎn)E、F、P分別在線段AB、BC、AC上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在PE+PF的最小值，則這個(gè)最小值是$\frac{120}{13}$．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，取CD中點(diǎn)M，連接EM與AC交于點(diǎn)P，PE+PF的最小值=PE+PM=EM，由此即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2，作點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M，連接EM與AC交于點(diǎn)P，當(dāng)EM⊥CD時(shí)，PE+PF=PE+PM=EM，此時(shí)PE+PF最短，由此即可解決問(wèn)題．

解答 （1）解：如圖1，取CD中點(diǎn)M，連接EM與AC交于點(diǎn)P，
∵四邊形ABCD是菱形，AC=10，DB=24，
∴AC⊥BD，AD=AB=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，
∵DM=MC，CF=FB，CD、CB關(guān)于AC對(duì)稱，
∴M、F關(guān)于AC對(duì)稱，
∴PE+PF=PE+PM=EM最小，
∵AE=EB．DM=MC，
∴AE=DM．AE∥DM，
∴四邊形ADME是平行四邊形，
∴ME=AD=13．
故答案為13．
（2）如圖2，作點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M，連接EM與AC交于點(diǎn)P，
當(dāng)EM⊥CD時(shí)，PE+PF=PE+PM=EM，此時(shí)PE+PF最短（垂線段最短），
∵S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$•AC•BD=AB•EM，
∴$\frac{1}{2}$×10×24=13×EM，
∴EM=$\frac{120}{13}$．
故答案為$\frac{120}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軸對(duì)稱-最短問(wèn)題、勾股定理、垂線段最短、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用對(duì)稱找到點(diǎn)P的位置，屬于中考�？碱}型．