在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知二次函數(shù)y=x2+mx+n的圖象經(jīng)過點A(2,0)和點B(1,-),直線l經(jīng)過拋物線的頂點且與y軸垂直,垂足為Q.

(1)求該二次函數(shù)的表達式;

(2)設(shè)拋物線上有一動點P從點B處出發(fā)沿拋物線向上運動,其縱坐標(biāo)y1隨時間t(t≥0)的變化規(guī)律為y1=-+2t.現(xiàn)以線段OP為直徑作⊙C.

①當(dāng)點P在起始位置點B處時,試判斷直線l與⊙C的位置關(guān)系,并說明理由;在點P運動的過程中,直線l與⊙C是否始終保持這種位置關(guān)系?請說明你的理由;

②若在點P開始運動的同時,直線l也向上平行移動,且垂足Q的縱坐標(biāo)y2隨時間t的變化規(guī)律為y2=-1+3t,則當(dāng)t在什么范圍內(nèi)變化時,直線l與⊙C相交?此時,若直線l被⊙C所截得的弦長為a,試求a2的最大值.

答案:
解析:

  解:(1)將點和點的坐標(biāo)代入,得,解得

  ∴二次函數(shù)的表達式為;3分

  (2)①當(dāng)點在點處時,直線相切,理由如下:

  ∵點,∴圓心的坐標(biāo)為,∴的半徑為,

  又拋物線的頂點坐標(biāo)為(0,-1),即直線l上所有點的縱坐標(biāo)均為-1,從而圓心C到直線l的距離為,∴直線相切;5分

  在點運動的過程中,直線始終保持相切的位置關(guān)系,理由如下:

  方法一:設(shè)點,則圓心的坐標(biāo)為,∴圓心C到直線l的距離為,又∵,∴,則的半徑為

  ∴直線始終相切.7分

  方法二:設(shè)點≥1),則圓心的坐標(biāo)為,∴的半徑為,而圓心C到直線l的距離為,∴直線始終相切.7分

  ②由①知,圓C的半徑為

  又∵圓心C的縱坐標(biāo)為,直線l上的點的縱坐標(biāo)為,所以

  (ⅰ)當(dāng),即時,圓心C到直線l的距離為,則由,得,解得,

  ∴此時;8分

  (ⅱ)當(dāng),即時,圓心C到直線l的距離為,則由,得,解得,

  ∴此時

  綜上所述,當(dāng)時,直線相交.9分

  (說明:若學(xué)生就寫成,得全分;若學(xué)生依據(jù)直觀,只考慮圓心C在直線l下方的情況,解出后,就得,也給全分)

  ∵當(dāng)時,圓心C到直線l的距離為,又半徑為,

  ∴,11分

  ∴當(dāng)時,取得最大值為.12


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13、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A(2,-2),在y軸上確定點P,使△AOP為等腰三角形,則符合條件的有
4
個.

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=1,并且經(jīng)過(-2,-5)和(5,-12)兩點.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)設(shè)此拋物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于C 點,D是線段BC上一點(不與點B、C重合),若以B、O、D為頂點的三角形與△BAC相似,求點D的坐標(biāo);
(3)點P在y軸上,點M在此拋物線上,若要使以點P、M、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形,請你直接寫出點M的坐標(biāo).

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精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△ABC的A、B兩個頂點在x軸上,頂點C在y軸的負半軸上.已知|OA|:|OB|=1:5,|OB|=|OC|,△ABC的面積S△ABC=15,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A、B、C三點.
(1)求此拋物線的函數(shù)表達式;
(2)設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上異于點B的一個動點,過點E作x軸的平行線交拋物線于另一點F,過點F作FG垂直于x軸于點G,再過點E作EH垂直于x軸于點H,得到矩形EFGH.則在點E的運動過程中,當(dāng)矩形EFGH為正方形時,求出該正方形的邊長;
(3)在拋物線上是否存在異于B、C的點M,使△MBC中BC邊上的高為7
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?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(2,-2),B(0,-2),在坐標(biāo)平面中確定點P,使△AOP與△AOB相似,則符合條件的點P共有
5
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個.

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如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(2,1)、B(4,1)、C(1,3).與△ABC與△ABD全等,則點D坐標(biāo)為
(1,-1),(5,3)或(5,-1)
(1,-1),(5,3)或(5,-1)

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