在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知二次函數(shù)y=x2+mx+n的圖象經(jīng)過點A(2,0)和點B(1,-),直線l經(jīng)過拋物線的頂點且與y軸垂直,垂足為Q.
(1)求該二次函數(shù)的表達式;
(2)設(shè)拋物線上有一動點P從點B處出發(fā)沿拋物線向上運動,其縱坐標(biāo)y1隨時間t(t≥0)的變化規(guī)律為y1=-+2t.現(xiàn)以線段OP為直徑作⊙C.
①當(dāng)點P在起始位置點B處時,試判斷直線l與⊙C的位置關(guān)系,并說明理由;在點P運動的過程中,直線l與⊙C是否始終保持這種位置關(guān)系?請說明你的理由;
②若在點P開始運動的同時,直線l也向上平行移動,且垂足Q的縱坐標(biāo)y2隨時間t的變化規(guī)律為y2=-1+3t,則當(dāng)t在什么范圍內(nèi)變化時,直線l與⊙C相交?此時,若直線l被⊙C所截得的弦長為a,試求a2的最大值.
解:(1)將點和點的坐標(biāo)代入,得,解得, ∴二次函數(shù)的表達式為;3分 (2)①當(dāng)點在點處時,直線與相切,理由如下: ∵點,∴圓心的坐標(biāo)為,∴的半徑為, 又拋物線的頂點坐標(biāo)為(0,-1),即直線l上所有點的縱坐標(biāo)均為-1,從而圓心C到直線l的距離為,∴直線與相切;5分 在點運動的過程中,直線與始終保持相切的位置關(guān)系,理由如下: 方法一:設(shè)點,則圓心的坐標(biāo)為,∴圓心C到直線l的距離為,又∵,∴,則的半徑為, ∴直線與始終相切.7分 方法二:設(shè)點≥1),則圓心的坐標(biāo)為,∴的半徑為,而圓心C到直線l的距離為,∴直線與始終相切.7分 ②由①知,圓C的半徑為. 又∵圓心C的縱坐標(biāo)為,直線l上的點的縱坐標(biāo)為,所以 (ⅰ)當(dāng)≥,即≤時,圓心C到直線l的距離為,則由,得,解得, ∴此時≤;8分 (ⅱ)當(dāng)<,即>時,圓心C到直線l的距離為,則由,得,解得, ∴此時<; 綜上所述,當(dāng)時,直線與相交.9分 (說明:若學(xué)生就寫成≤或<,得全分;若學(xué)生依據(jù)直觀,只考慮圓心C在直線l下方的情況,解出后,就得,也給全分) ∵當(dāng)時,圓心C到直線l的距離為,又半徑為, ∴,11分 ∴當(dāng)時,取得最大值為.12 |
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