Question

如圖，D、E分別是不等邊三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的邊AB、AC的中點(diǎn)．O是△ABC平面上的一動(dòng)點(diǎn)，連接OB、OC，G、F分別是OB、OC的中點(diǎn)，順次連接點(diǎn)D、G、F、E．
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)O在△ABC內(nèi)時(shí)，求證：四邊形DGFE是平行四邊形；
（2）若連接AO，且滿足AO=BC，AO⊥BC．問(wèn)此時(shí)四邊形DGFE又是什么形狀？并請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中位線定理,平行四邊形的判定

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)是三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DE∥BC且DE=

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BC，GF∥BC且GF=

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BC，從而得到DE∥GF且DE=GF，然后根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
（2）根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，DG∥AO，DG=

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AO，然后求出DG⊥GF，DG=GF，再根據(jù)鄰邊垂直且相等的平行四邊形是正方形解答．

解答：（1）證明：∵D、E是AB、AC的中點(diǎn)，
∴DE∥BC且DE=

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BC，
∵G、F是OB、OC的中點(diǎn)，
∴GF∥BC且GF=

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BC，
∴DE∥GF且DE=GF，
∴四邊形DGFE是平行四邊形；

（2）解：∵D、G分別是AB、OB的中點(diǎn)，
∴DG∥AO，DG=

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AO，
又∵AO=BC，AO⊥BC，
∴DG⊥GF，DG=GF，
∴四邊形DGFE正方形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，平行四邊形的判定，正方形的判定，熟記定理與判定方法是解題的關(guān)鍵．