Question

5．已知：如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，BE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，M為AB邊的中點(diǎn)，連結(jié)ME、MD、ED．設(shè)AB=4，∠DBE=30°，則△EDM的面積為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由條件知△ABE，三角形ADB是直角三角形，且EM，DM分別是它們斜邊上的中線，證明∠EMD=2∠DAC=60°，從而可得三角形DME是邊長為2的等邊三角形可得到問題答案．

解答 解：∵在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴△ABE，△ADB是直角三角形，
∴EM，DM分別是它們斜邊上的中線，
∴EM=DM=$\frac{1}{2}$AB，
∵M(jìn)E=$\frac{1}{2}$AB=MA，
∴∠MAE=∠MEA，
∴∠BME=2∠MAE，
同理，MD=$\frac{1}{2}$AB=MA，
∴∠MAD=∠MDA，
∴∠BMD=2∠MAD，
∴∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC=60°，
所以△DEM是邊長為2的正三角形，所以S_△DEM=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了直角三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定和性質(zhì)和等邊三角形的面積計(jì)算，題目綜合性很好．