Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC四個頂點的坐標(biāo)分別為O(0，0)，A(0，3)，B(6，3)，C(6，0)，拋物線過點A。

(1)(2分)求c的值；    ．

(2)(6分)若a＝－l，且拋物線與矩形有且只有三個交點A、D、E，求△ADE的面積S的最大值；

(3)(6分)若拋物線與矩形有且只有三個交點A、M、N，線段MN的垂直平分線l過點O，交線段BC于點

F。當(dāng)BF＝1時，求拋物線的解析式．

 

Answer 1

【答案】

(1)3(2) (3) 或

【解析】解：(1)∵拋物線過點A(0，3)，∴c＝3。

(2) ∵a＝－l，∴

如圖①，當(dāng)拋物線與矩形的兩個交點D、E分別在AB、OC邊上時， 拋物線與直線x＝6的交點應(yīng)落在C點或C點下方。

 

 

               ∴　當(dāng)x＝6時，y≤0。

∴，即。

 又∵對稱軸在y軸右側(cè)，∴b＞0。∴0＜。

 由拋物線的對稱性可知： 。

 又∵△ADE的高＝BC＝3，∴S＝×b×3＝。

∵＞0，∴S隨b的增大而增大。

∴當(dāng)b＝時，S的最大值＝。

 如圖②，當(dāng)拋物線與矩形的兩個交點D、E分別在AB、BC邊上時，拋物線與直線

 

 

x＝6的交點應(yīng)落在線段BC上且不與點B重合，即0≤＜3。

當(dāng)x＝6，則，

∴0≤6b—33＜3，∴≤b＜6。

∴BE＝3－(6b－33)＝36—6b。

∴S＝AD·BE＝·b·(36—6b)＝－3b²+18b。

∵對稱軸b＝3＜，∴隨b的增大而減小。

∴當(dāng)b＝時，S的最大值＝。

綜上所述：S的最大值為。

 (3)當(dāng)a＞0時，符合題意要求的拋物線不存在。

當(dāng)a＜0時，符合題意要求的拋物線有兩種情況：

①當(dāng)點M、N分別在AB、OC邊上時．

如圖③過M點作MG⊥OC于點G，連接OM．

 

 

                ∴MG＝OA＝3．∠2＋∠MNO＝90°。

                ∵OF垂直平分MN．

∴OM＝ON，∠1＋∠MNO=90°，∠1＝∠2。

                ∵FB＝1，F(xiàn)C＝3－1＝2。

                ∴tan∠1＝，tan∠2＝＝tan∠1＝。

∴GN＝GM＝1。

設(shè)N(n，0)，則G(n－1，0)，∴M(n－1，3)。 ∴AM＝n－1，ON＝n＝OM。

在Rt△AOM中，，

                ∴，解得n＝5�！唷�M(4，3)，N(5，0)。

把M(4，3)，N(5，0)分別代入，得

，解得。

∴拋物線的解析式為。

②當(dāng)點M、N分別在AB、BC邊上時．如圖④，連接MF．

 

 

                ∵OF垂直平分MN，

∴∠1＋∠NFO＝90°，MF＝FN。

 又∵∠0CB＝90°，∴∠2＋∠CFO=90°。

 ∴∠1＝∠2。

 ∵BF＝1， ∴FC＝2。

∴tan∠1＝tan∠2＝。

                 在Rt△MBN，tan∠1＝，∴BN＝3MB。

設(shè)N(6，n)．則FN＝2－n，BN＝3一n。∴MF＝2－n，MB＝。

在Rt△MBF中，∵，∴。

解得： (不合題意舍去)，∴。

∴AM＝6－＝，∴　M(，3)，N(6，) 。

把M(，3)，N(6，)分別代人，得

，解得　。

∴拋物線的解析式為。

綜上所述，拋物線的解析式為或。

（1）將點A的坐標(biāo)代入即可求得c的值。

（2）分拋物線與矩形的兩個交點D、E分別在AB、OC邊上和拋物線與矩形的兩個交點D、E分別在AB、BC邊兩種情況應(yīng)用二次函數(shù)性質(zhì)分別求解。

（3）分拋物線與矩形的兩個交點D、E分別在AB、OC邊上和拋物線與矩形的兩個交點D、E分別在AB、BC邊兩種情況應(yīng)用待定系數(shù)法分別求解。