Question

13．如圖1，直線l交x軸、y軸分別于A、B兩點(diǎn)，A（a，0），B（0，b），且（a-b）²+|b-4|=0．

（1）求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如圖2，C為線段AB上一點(diǎn)，且C點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3．求△AOC的面積；
（3）如圖2，在（2）的條件下，以O(shè)C為直角邊作等腰直角△POC，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）如圖3，在（2）的條件下，過(guò)B點(diǎn)作BD⊥OC，交OC、OA分別于F、D兩點(diǎn)，E為OA上一點(diǎn)，且∠CEA=∠BDO，試判斷線段OD與AE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，進(jìn)而可得出AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過(guò)C作CD⊥x軸于D，根據(jù)C點(diǎn)橫坐標(biāo)可得出OD的長(zhǎng)，再由OA=OB可得出∠BAO=45°，故可得出CD的長(zhǎng)，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（3）過(guò)P作PE⊥x軸于E，根據(jù)等腰直角三角形POC，證得∠EPO=∠COD，由AAS證得△EPO≌△DOC，得出OE=CD=1，PE=OD=3，即可求得P的坐標(biāo)；
（4）過(guò)A作AG⊥x軸于A，交OC延長(zhǎng)線于G．先證△BOD≌△OAG，證得∠BDO=∠G，OD=AG．由∠CEA=∠BDO，得出∠CEA=∠G．根據(jù)∠BAO=45°，∠GAO=90°，得出∠BAO=∠CAG=45°．然后根據(jù)AAS證得△CEA≌△CGA，得出AE=AG，即可證得OD=AE．

解答 解：（1）∵（a-b）²+|b-4|=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}a-b=0\\ b-4=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=4\end{array}\right.$
∴A（4，0），B（0，4）；

（2）如圖1，過(guò)C作CD⊥x軸于D．
∵x_C=3，A（4，0），B（0，4）
∴OD=3，OA=OB=4，
∴AD=OA-OD=1，∠BAO=45°，
∴CD=AD=1
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$OA•CD=2，即△AOC的面積為2；

（3）如圖1，過(guò)P作PE⊥x軸于E，
則∠PEO=∠CDO=90°，
∴∠EPO+∠EOP=90°．
∵△POC是等腰直角三角形，
∴OP=OC，∠POC=90°．
∴∠EOP+∠COD=90°．
∴∠EPO=∠COD．
在△EPO和△DOC中，
$\left\{\begin{array}{l}∠PEO=∠CDO\\∠EPO=∠COD\\ OP=OC\end{array}\right.$，
∴△EPO≌△DOC（AAS）
∴OE=CD=1，PE=OD=3，
∴P（-1，3）；

（4）OD=AE．理由如下：
如圖2，過(guò)A作AG⊥x軸于A，交OC延長(zhǎng)線于G．
∴∠GAO=90°．
∵OB⊥OA，BD⊥OC，
∴∠BOD=∠BFO=90°，
∴∠OBD+∠BOF=∠AOF+∠BOF=90°．
∴∠OBD=∠AOF．
在△BOD和△OAG中，
$\left\{\begin{array}{l}∠BOD=∠GAO=90°\\ OB=OA\\∠OBD=∠AOG\end{array}\right.$，
∴△BOD≌△OAG（ASA）
∴∠BDO=∠G，OD=AG．
∵∠CEA=∠BDO，
∴∠CEA=∠G．
∵∠BAO=45°，∠GAO=90°，
∴∠BAO=∠CAG=45°．
在△CEA和△CGA中，
$\left\{\begin{array}{l}∠CEA=∠D\\∠CAE=∠CAG\\ AC=AC\end{array}\right.$，
∴△CEA≌△CGA（AAS），
∴AE=AG，
∴OD=AE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．