Question

14．拋物線(xiàn)y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）和C（0，3）．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）點(diǎn)P為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)．
①當(dāng)PA+PC最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②當(dāng)△PAC是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可解決．
（2）求出直線(xiàn)BC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)P．
（3）分三種情形討論：①當(dāng)∠ACP₁=90°時(shí)，求出直線(xiàn)P₁C為y=-$\frac{1}{3}$x+3即可．②當(dāng)∠CAP₂=90°，求出直線(xiàn)AP₂為y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$即可．③當(dāng)∠AP₃C=90°時(shí)，作CE⊥對(duì)稱(chēng)軸于E，設(shè)P（1，k），由△P₃CE∽△AP₃F得到$\frac{CE}{{P}_{3}F}$=$\frac{E{P}_{3}}{AF}$，即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）把點(diǎn)A（-1，0）和C（0，3），代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
故拋物線(xiàn)解析式為y=-x²+2x+3．
（2）①設(shè)直線(xiàn)BC為y=kx+b，直線(xiàn)BC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)P．
∵拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸x=1，點(diǎn)B坐標(biāo)（3，0），則$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)BC為y=-x+3，與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)為（1，2），
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（1，2）．
②當(dāng)∠ACP₁=90°時(shí)，
∵直線(xiàn)AC解析式為y=3x+3，
∴直線(xiàn)P₁C為y=-$\frac{1}{3}$x+3，
∴點(diǎn)P₁（1，$\frac{8}{3}$）．
當(dāng)∠CAP₂=90°，直線(xiàn)AP₂為y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$，
∴點(diǎn)P₂（1，-$\frac{2}{3}$）．
當(dāng)∠AP₃C=90°時(shí)，作CE⊥對(duì)稱(chēng)軸于E，設(shè)P（1，k）
由△P₃CE∽△AP₃F得到$\frac{CE}{{P}_{3}F}$=$\frac{E{P}_{3}}{AF}$，
∴$\frac{1}{k}$=$\frac{3-k}{2}$，
∴k=1或2，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（1，1）或（1，2）．
綜上所述點(diǎn)P坐標(biāo)（1，1）或（1，2）或（1，$\frac{8}{3}$）或（1，-$\frac{2}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)性質(zhì)、最小值問(wèn)題、直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)分類(lèi)討論思想，利用一次函數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．