Question

7．如圖，直線y=kx+b經(jīng)過A（-3，$\frac{20}{3}$）、B（5，-4）兩點，過點A作AD⊥x軸于D點，過點B作BC⊥y軸于C點，AB與x軸相交于E點，判斷四邊形BCDE的形狀，并加以證明．

Answer 1

分析 判斷四邊形BCDE為菱形．設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，由A、B點的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式，令y=0可得出點E的坐標(biāo)，結(jié)合A、B的坐標(biāo)可得出點D、點C的坐標(biāo)，從而得出BC、DE的長度，由BC⊥y軸于C點，可得出BC∥DE，再結(jié)合BC=DE可得出四邊形BCDE為平行四邊形．通過解直角三角形可求出CD長度，由此得出BC=CD，從而證得四邊形BCDE為菱形．

解答 解：四邊形BCDE為菱形．
證明：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
將點A（-3，$\frac{20}{3}$）、點B（5，-4）代入到y(tǒng)=kx+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{20}{3}=-3k+b}\\{-4=5k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$．
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{8}{3}$．
令y=0，則-$\frac{4}{3}$x+$\frac{8}{3}$=0，解得：x=2，
∴點E的坐標(biāo)為（2，0）．
∵BC⊥y軸于C點，
∴BC∥x軸∥DE．
∵點A（-3，$\frac{20}{3}$）、點B（5，-4），
∴點D（-3，0），點C（0，-4），
∴BC=5-0=5，DE=2-（-3）=5，
∴BC=DE．
∴四邊形BCDE為平行四邊形．
在Rt△COD中，OC=4，OD=3，
∴CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=5．
∵BC=DE=5，
∴BC=CD，
∴四邊形BCDE為菱形．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、兩點間的距離公式、菱形的判定定理以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是找出點E的坐標(biāo)．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，由待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，再求出一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，結(jié)合點的坐標(biāo)判定四邊形具體是什么形．