Question

13．如圖，在△ABC中，AB=AC，在∠BAC內(nèi)部有一點(diǎn)D，AB=AD，將△BDC向下翻折得到△MDC，連接BM．
（1）求證：∠BDM=∠BAC；
（2）當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，延長AD交MC于N，連接BN，過C作CH⊥AN于H，AN：CN=4：3，BN=2，求AH的長？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠BDC=∠MDC，設(shè)∠ADB=x，∠ADC=y，于是得到∠BDC=∠MDC=x+y，推出∠BDM=360°-∠MDC-∠BDC=360°-2（x+y），根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAD=180°-2x，推出∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°-2x+180°-2y=360°-2（x+y），于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BD=MD，由于∠MDB=∠BAC=60°，得到△BMD為等邊三角形，于是得到AB=BC，BD=BM，∠DBM=∠ABC=60°推出△ABD≌△CBM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADB=∠CMB，CM=AD，于是得到∠ADB+∠BDN=180°，推出∠MBD+∠MND=180°，得到∠MBD+∠MND=180°，推出B，M，N，D四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得到∠BND=∠BMD=60°，截取NG=DN，于是得到△NGD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠GDN=∠BDM=60°，DN=DG，得到∠BDG=∠MDN，推出△BGN≌△MND，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NM=DN，BG=MN，由于BN=BG+GN=2，于是得到DN+MN=2，設(shè)AN=4x，CN=3x，求得AD=AN-DN=4x-DN，CM=CN+MN=3x+MN，求得x=2，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．．

解答 （1）證明：∵將△BDC向下翻折得到△MDC，
∴∠BDC=∠MDC，設(shè)∠ADB=x，∠ADC=y，
∴∠BDC=∠MDC=x+y，
∴∠BDM=360°-∠MDC-∠BDC=360°-2（x+y），
∵AB=AD，
∴∠BAD=180°-2x，
∵AB=AC=AD，
∴∠DAC=180°-2y，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°-2x+180°-2y=360°-2（x+y），
∴∠BDM=∠BAC；

（2）解：∵將△BDC向下翻折得到△MDC，
∴BD=MD，
∵∠MDB=∠BAC=60°，
∴△BMD為等邊三角形，
∴AB=BC，BD=BM，∠DBM=∠ABC=60°，
∴∠CBM=∠DBA，
在△ABD與△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠CBM=∠DBA}\\{BM=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBM，
∴∠ADB=∠CMB，CM=AD，
∴∠ADB+∠BDN=180°，
∴∠MBD+∠MND=180°，
∵∠MBD=60°，
∴∠MND=120°，
∴∠ANC=60°，
∵∠MBD+∠MND=180°，
∴B，M，N，D四點(diǎn)共圓，
∴∠BND=∠BMD=60°，
截取NG=DN，連接DG，
∴△NGD是等邊三角形，
∴∠GDN=∠BDM=60°，DN=DG，
∴∠BDG=∠MDN，
在△BGD與△MND中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=MD}\\{∠BDG=∠MDN}\\{DG=DN}\end{array}\right.$，
∴△BGN≌△MND，
∴NM=DN，BG=MN，
∵BN=BG+GN=2，
∴DN+MN=2，設(shè)AN=4x，CN=3x，
∴AD=AN-DN=4x-DN，CM=CN+MN=3x+MN，
∵CM=AD，
∴4x-DN=3x+MN=2，
∴x=2，
在Rt△CMH中，∵∠ANC=60°，
∴∠HCN=30°，
∴$NH=\frac{1}{2}NC$=$\frac{3}{2}$x，
∴$AH=AN-HN=4x-\frac{3}{2}x=2.5x$，
∴AH=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造等邊三角形是解題的關(guān)鍵．