(2008•蘇州)如圖,帆船A和帆船B在太湖湖面上訓(xùn)練,O為湖面上的一個(gè)定點(diǎn),教練船靜候于點(diǎn)O,訓(xùn)練時(shí)要求A、B兩船始終關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱.以O(shè)為原點(diǎn),建立如圖所示的坐標(biāo)系,x軸、y軸的正方向分別表示正東、正北方向.設(shè)A、B兩船可近似看成在雙曲線y=上運(yùn)動(dòng),湖面風(fēng)平浪靜,雙帆遠(yuǎn)影優(yōu)美,訓(xùn)練中檔教練船與A、B兩船恰好在直線y=x上時(shí),三船同時(shí)發(fā)現(xiàn)湖面上有一遇險(xiǎn)的C船,此時(shí)教練船測(cè)得C船在東南45°方向上,A船測(cè)得AC與AB的夾角為60°,B船也同時(shí)測(cè)得C船的位置(假設(shè)C船位置不再改變,A、B、C三船可分別用A、B、C三點(diǎn)表示).
(1)發(fā)現(xiàn)C船時(shí),A、B、C三船所在位置的坐標(biāo)分別為A(______,______)、B(______,______)和C(______
【答案】分析:(1)A、B兩點(diǎn)直線y=x上和雙曲線y=,列方程組可求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo),在依題意判斷△ABC為等邊三角形,OA=2,則OC=OA=2,過C點(diǎn)作x軸的垂線CE,垂足為E,利用OC在第四象限的角平分線上求OE,CE,確定C點(diǎn)坐標(biāo);
(2)分別求出AC、OC的長,分別表示教練船與A、B兩船的速度與時(shí)間,比較時(shí)間的大小即可.
解答:解:(1)CE⊥x軸于E,解方程組,
∴A(2,2),B(-2,-2),
在等邊△ABC中可求OA=2,
則OC=OA=2,
在Rt△OCE中,OE=CE=OC•sin45°=2,
∴C(2,-2);

(2)作AD⊥x軸于D,連AC、BC和OC,
∵A(2,2),
∴∠AOD=45°,AO=2,
∵C在O的東南45°方向上,
∴∠AOC=45°+45°=90°,
∵AO=BO,∴AC=BC,
又∵∠BAC=60°,
∴△ABC為正三角形,
∴AC=BC=AB=2AO=4
∴OC==2,
由條件設(shè)教練船的速度為3m,A、B兩船的速度都為4m,
則教練船所用時(shí)間為,A、B兩船所用時(shí)間均為=,
==,
;
∴教練船沒有最先趕到.
點(diǎn)評(píng):本題考查了直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的求法,根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求兩點(diǎn)之間距離的方法.解答本題時(shí)同學(xué)們要讀懂題意,就不易出錯(cuò).
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(2008•蘇州)如圖,拋物線y=a(x+1)(x-5)與x軸的交點(diǎn)為M,N.直線y=kx+b與x軸交于P(-2,0),與y軸交于C.若A,B兩點(diǎn)在直線y=kx+b上,且AO=BO=,AO⊥BO.D為線段MN的中點(diǎn),OH為Rt△OPC斜邊上的高.
(1)OH的長度等于______;k=______,b=______;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使得拋物線y=a(x+1)(x-5)上有一點(diǎn)E,滿足以D,N,E為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似?若不存在,說明理由;若存在,求所有符合條件的拋物線的解析式,同時(shí)探索所求得的拋物線上是否還有符合條件的E點(diǎn)(簡要說明理由);并進(jìn)一步探索對(duì)符合條件的每一個(gè)E點(diǎn),直線NE與直線AB的交點(diǎn)G是否總滿足PB•PG<10,寫出探索過程.

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(1)OH的長度等于______;k=______,b=______;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使得拋物線y=a(x+1)(x-5)上有一點(diǎn)E,滿足以D,N,E為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似?若不存在,說明理由;若存在,求所有符合條件的拋物線的解析式,同時(shí)探索所求得的拋物線上是否還有符合條件的E點(diǎn)(簡要說明理由);并進(jìn)一步探索對(duì)符合條件的每一個(gè)E點(diǎn),直線NE與直線AB的交點(diǎn)G是否總滿足PB•PG<10,寫出探索過程.

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(2008•蘇州)如圖,AB為⊙O的直徑,AC交⊙O于E點(diǎn),BC交⊙O于D點(diǎn),CD=BD,∠C=70度.現(xiàn)給出以下四個(gè)結(jié)論:①∠A=45°;②AC=AB;③=;④CE×AB=2BD2.其中正確結(jié)論的序號(hào)是( )

A.①②
B.②③
C.②④
D.③④

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A.①②
B.②③
C.②④
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