Question

已知關(guān)于x的一元二次方程

1

4

x²-2x+a（x+a）=0的兩個實數(shù)根為x₁，x₂，若y=x₁+x₂+

1

2

x1+x2

．
（1）當(dāng)a≥0時，求y的取值范圍；   
（2）當(dāng)a≤-2時，比較y與-a²+6a-4的大小并說明理由．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關(guān)系,配方法的應(yīng)用

專題：

分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=4（2-a），再代入y=x₁+x₂+

1

2

x1+x2

，求出a的取值范圍，再代入y的式子，即可求出y的取值范圍．
（2）先把-a²+6a-4進(jìn)行配方，求出最值，再根據(jù)a≤-2時，求出y的取值范圍，即可得出答案．

解答：解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程

1

4

x²-2x+a（x+a）=0的兩個實數(shù)根為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=4（2-a），
∴y=x₁+x₂+

1

2

x1+x2

=4（2-a）+

2-a

，
∵2-a≥0，
∴a≤2，
∵a≥0，
∴a的取值范圍是：0≤a≤2，
∴y的取值范圍0≤y≤8+2

2

．

（2）∵-a²+6a-4=-（a-3）²+5，
∴-a²+6a-4的最大值是5，
當(dāng)a≤-2時，解得y的取值范圍得y≥18，
∵y的值恒大于5，
∴y大于-a²+6a-4．

點評：此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，用到的知識點是配方法的應(yīng)用，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．