Question

如圖，y=-x+3交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,拋物線經(jīng)過A,B,C(1,0)三點(diǎn).

（1）求拋物線解析式.

（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，0）,在直線y=-x+3上有一點(diǎn)P使△ABO與△ADP相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）在（2）的條件下，且點(diǎn)P為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作直線l平行于y軸，動(dòng)點(diǎn)N從原點(diǎn)出發(fā)以每秒一個(gè)單位的速度沿0-M-P運(yùn)動(dòng)，同時(shí)直線l從A點(diǎn)出發(fā)以相同的速度沿x軸向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點(diǎn)R,交線段BP或OP于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)M達(dá)到P點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否存在以P,Q,N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在請(qǐng)說明理由.

Answer 1

 (1)由題意得，A（3，0），B（0，3）
∵拋物線經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，
∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三點(diǎn)分別代入y=ax²+bx+c，
解得y=x²-4x+3. ……………（2分）

(2)由題意可得，△ABO為等腰三角形，

①若△ABO∽△APD,則,

DP=AD=4.

P（-1,4）……………（1分）

②若△ABO∽△ADP,過點(diǎn)P作PE⊥x軸于E，AD=4

△ABO為等腰三角形

△ADP是等腰三角形，

由“等腰三角形三線合一”可得，DE=AE=2=PE，即點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，

P(1，2) ……………（1分）

(3)當(dāng)時(shí)，可得PN=PQ，t=1. ……………（2分）

當(dāng)2<時(shí)，①可得QN=QP，t=.……………（2分）

②可得QN=PQ，t=.……………（2分）

③可得QN=NP，t=.