Question

如圖，已知直線y=

3

3

x與雙曲線y=

k

x

交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為

3

．
（1）求k的值；
（2）若雙曲線y=

k

x

上點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3，求△AOC的面積；
（3）在坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)M，在直線AB上有一點(diǎn)P，在雙曲線y=

k

x

上有一點(diǎn)N，若以O(shè)、M、P、N為頂點(diǎn)的四邊形是有一組對(duì)角為60°的菱形，請(qǐng)寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為

3

代入y=

3

3

x求出其縱坐標(biāo)，然后把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=

k

x

求出k即可．
（2）根據(jù)縱坐標(biāo)為3，求出橫坐標(biāo)，再求出過A，C兩點(diǎn)的直線方程，然后根據(jù)△AOC的面積=S_△COD-S_△AOD求解即可．
（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)（a，

3

3

a），根據(jù)題意，點(diǎn)M只能在縱坐標(biāo)軸上，

解答：解：（1）把點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為

3

代入y=

3

3

x，∴其縱坐標(biāo)為1，
把點(diǎn)（

3

，1）代入y=

k

x

，解得：k=

3

．

（2）∵雙曲線y=

3

x

上點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3，∴橫坐標(biāo)為

3

3

，
∴過A，C兩點(diǎn)的直線方程為：y=kx+b，把點(diǎn)（

3

，1），（

3

3

，3），代入得：

1 = 3 k+b 3= 3 3 k+b

，
解得：

k=- 3 b=4

，
∴y=-

3

x+4，設(shè)y=-

3

x+4與x軸交點(diǎn)為D，
則D點(diǎn)坐標(biāo)為（

4 3

3

，0），
∴△AOC的面積=S_△COD-S_△AOD=

1

2

×

4 3

3

×3-

1

2

×

4 3

3

×1=

4 3

3

．

（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)（a，

3

3

a），由直線AB解析式可知，直線AB與y軸正半軸夾角為60°，
∵以O(shè)、M、P、N為頂點(diǎn)的四邊形是有一組對(duì)角為60°的菱形，P在直線y=

3

3

x上，
∴點(diǎn)M只能在y軸上，∴N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，代入y=

3

x

，解得縱坐標(biāo)為：

3

a

，
根據(jù)OP=NP，即得：|

2 3

3

a|=|

3

a

-

3

3

a|，
解得：a=±1．
故P點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，

3

3

）或（-1，-

3

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)及反比例函數(shù)圖象上坐標(biāo)的特征，難度較大，關(guān)鍵掌握用待定系數(shù)法解函數(shù)的解析式．