Question

已知a，b均為實數，且（a²+1）（b²+1）=4ab，求多項式a²+6ab+9b²的值．

Answer 1

考點：配方法的應用,非負數的性質：偶次方

專題：計算題

分析：先把已知條件展開得到a²b²+a²+b²+1-4ab=0，再利用配方法得到（ab-1）²+（a-b）²=0，然后根據非負數的性質得ab-1=0且a=b，可計算出a=b=±1，再利用完全平方公式得到原式=（a+3b）²=（4a）²，最后把a的值代入計算即可．

解答：解：∵（a²+1）（b²+1）=4ab，
∴a²b²+a²+b²+1-4ab=0，
∴a²b²-2ab+1+a²-2ab+b²=0
∴（ab-1）²+（a-b）²=0，
∴ab-1=0且a=b，
∴a=b=±1，
∴a²+6ab+9b²=（a+3b）²=（4a）²=16．

點評：本題考查了配方法的應用：用配方法解一元二次方程，配方法的理論依據是公式a²±2ab+b²=（a±b）²；利用配方法求二次三項式是一個完全平方式時所含字母系數的值．也考查了非負數的性質．