Question

（2012•�？悼h模擬）如圖，已知拋物線y=-

2

5

x²+

8

5

x+2交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)．
（2）若點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，連接BC、CM、BM，求△BCM的面積．
（3）連接AC，在x軸上是否存在點(diǎn)P使△ACP為等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）令y=0求A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)，令x=0求C點(diǎn)縱坐標(biāo)；
（2）由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求M點(diǎn)坐標(biāo)，過M作MN垂直y軸于N，根據(jù)S_△BCM=S_OBMN-S_△OBC-S_△MNC求△BCM的面積；
（3）根據(jù)AC為腰，AC為底兩種情況求P點(diǎn)坐標(biāo)．當(dāng)AC為腰時(shí)，分為A為等腰三角形的頂點(diǎn)，C為等腰三角形的頂點(diǎn)，兩種情況求P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)AC為底時(shí)，作線段AC的垂直平分線交x軸于P點(diǎn)，利用三角形相似求OP．

解答：解：（1）令-

2

5

x²+

8

5

x+2=0，解得x₁=-1，x₂=5．
令x=0，則y=2，
所以A、B、C的坐標(biāo)分別是A（-1，0）、B（5，0）、C（0，2）；

（2）頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是M（2，

18

5

）．
過M作MN垂直y軸于N，
所以S_△BCM=S_OBMN-S_△OBC-S_△MNC
=

1

2

（2+5）×

18

5

-

1

2

×5×2-

1

2

×（

18

5

-2）×2
=6；

（3）當(dāng)以AC為腰時(shí)，在x軸上有兩個(gè)點(diǎn)分別為P₁，P₂，易求AC=

5

，
則0P₁=1+

5

，OP₂=

5

-1，
所以P₁，P₂的坐標(biāo)分別是P₁（-1-

5

，0），P₂（

5

-1，0）；
當(dāng)以AC為底時(shí)，作AC的垂直平分線交x軸于P₃，交y軸于F，垂足為E，
CE=

AC

2

=

5

2

，
易證△CEF∽△COA，
所以

CF

CE

=

CA

CO

，
所以

CF

5 2

=

5

2

，
CF=

5

4

，OF=OC-CF=2-

5

4

=

3

4

，
EF=

CF2-CE2

=

( 5 4 )2-( 5 2 )2

=

5

4

．
又∵△CEF∽△P₃OF，
所以，

CE

EF

=

OP3

OF

，
求得OP₃=

3

2

則P₃的坐標(biāo)為P₃（

3

2

，0）．
AC=PC，則P₄（1，0）．
所以存在P₁、P₂、P₃、P₄四個(gè)點(diǎn)，它們的坐標(biāo)分別是P₁（-1-

5

，0）、P₂（

5

-1，0）、P₃（

3

2

，0）、P₄（1，0）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的解析式求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類討論，求滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．