【題目】如圖①,四邊形是矩形,,點是線段上一動點 (不與重合),點是線段延長線上一動點,連接于點.設(shè),已知之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示.

(1)求圖②中的函數(shù)表達式;

(2)求證:;

(3)是否存在的值,使得是等腰三角形?如果存在,求出的值;如果不存在,說明理由.

【答案】1y=-2x+40x2);(2)證明見解析;(3)存在,x=

【解析】

1)利用待定系數(shù)法可得yx的函數(shù)表達式;

2)先證明,又∠C=DAF=90°,利用兩組對應邊成比例,及夾角相等,即可證明△CDE∽△ADF;

3)根據(jù)題意,使得是等腰三角形,可分三種情況:①若DE=DG,則∠DGE=DEG;②若DE=EG,如圖,作EHCD,交ADH;③若DG=EG,則∠GDE=GED;分別列方程計算可得結(jié)論.

解:(1)設(shè)y=kx+b

由圖象得:當x=1時,y=2,當x=0時,y=4,

代入得:

,

y=-2x+40x2);

2)∵BE=x,BC=2

CE=2-x,AF=-2x+4

,,

,

∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠C=DAF=90°,

∴△CDE∽△ADF

3)根據(jù)題意,假設(shè)存在x的值,使得是等腰三角形,可分三種情況:

①若DE=DG,則∠DGE=DEG,

∵四邊形ABCD是矩形,

ADBC,∠B=90°,

∴∠DGE=GEB

∴∠DEG=BEG,

在△DEF和△BEF中,

,

∴△DEF≌△BEFAAS),

DE=BE=x,CE=2-x

∴在RtCDE中,由勾股定理得:1+2-x2=x2,

②若DE=EG,如圖,作EHCD,交ADH,

ADBC,EHCD

∴四邊形CDHE是平行四邊形,

∴∠C=90°,

∴四邊形CDHE是矩形,

EH=CD=1DH=CE=2-x,EHDG,

HG=DH=2-x,

AG=2x-2

EHCD,DCAB

EHAF,

∴△EHG∽△FAG,

,

解得:,(舍去);

③若DG=EG,則∠GDE=GED

∵∠EDF=90°,

∴∠FDG+GDE=DFG+DEG=90°,

∴∠FDG=DFG

FG=DG,

FG=EG,

ADBC,

∴∠FGA=FEB,∠FAG=B,

∴△FAG∽△FBE,

,

,

;

綜合上述,x的值為、.

練習冊系列答案
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