Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，BC=2，∠A=60°．
（1）求證：BD⊥BC；
（2）延長CB至G，使BG=BC，E是邊AB上一點，F是線段CG上一點，且∠EDF=60°，設AE=x，CF=y．
①當點F在線段BC上時（點F不與點B、C重合），求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；
②當以AE為半徑的⊙E與以CF為半徑的⊙F相切時，求x的值．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）過點D作DH⊥AB，垂足為H，在Rt△AHD中，由三角函數可得出AH=1，由

AH

AD

=

1

2

，

BC

CD

=

1

2

，可得

AH

AD

=

BC

CD

，即

AH

BC

=

AD

CD

．可證明△AHD∽△CBD，則∠CBD=∠AHD=90°，即BD⊥BC；
（2）①根據AD∥BC，得∠ADB=∠DBC=90°，可證明△EHD∽△FBD，得

DH

BD

=

EH

BF

，即

3

2 3

=

x-1

2-y

，從而得出y=4-2x（1＜x＜2）；②連接EF，分三種情況：
1°當點F在線段BC（點F不與點B、C重合）上時，根據△EHD∽△FBD，得

DH

BD

=

DE

DF

．即

DH

DE

=

BD

DF

，可證明△BDH∽△FDE，在Rt△EDH中，由勾股定理得DE，即可得出EF；i） 當⊙E與⊙F內切時，|x-(4-2x)|=

3x2-6x+12

．解得，x1=

9+ 57

6

（舍），x2=

9- 57

6

（舍）；ii）當⊙E與⊙F外切時，x+(4-2x)=

3x2-6x+12

．解得x₁=1（舍），x₂=-2（舍）；2°點F與點B重合時，即 x=1時，兩圓外切；3°當點F在線段BG（點F不與點B重合）上時，
易得CF=4-2x，且△BDH∽△FDE仍然成立，即可得出EF，由1°計算可知x=

9- 57

6

時兩圓內切．綜上所述，當x=1時，兩圓外切，當x=

9- 57

6

時，兩圓內切．

解答：解：（1）過點D作DH⊥AB，垂足為H，
在Rt△AHD中，AH=AD•cosA=BC•cosA=1，
∵

AH

AD

=

1

2

，

BC

CD

=

1

2

，
∴

AH

AD

=

BC

CD

，即

AH

BC

=

AD

CD

．
又∵∠C=∠A=60°，
∴△AHD∽△CBD，
∴∠CBD=∠AHD=90°，
∴BD⊥BC；

（2）①∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=90°，
∵∠BDH+∠HDA=90°，∠A+∠HDA=90°，
∴∠BDH=∠A=60°，
∵∠EDF=60°，
∴∠BDH=∠EDF，即∠EDH+∠BDE=∠FDB+∠BDE，
∴∠EDH=∠FDB，
又∵∠EHD=∠CBD=90°，
∴△EHD∽△FBD，
∴

DH

BD

=

EH

BF

，
∴

3

2 3

=

x-1

2-y

，
∴y=4-2x（1＜x＜2）；
②連接EF，分三種情況：
1°當點F在線段BC（點F不與點B、C重合）上時，
∵△EHD∽△FBD，
∴

DH

BD

=

DE

DF

．即

DH

DE

=

BD

DF

．
又∵∠BDH=∠EDF，
∴△BDH∽△FDE，
∴∠DEF=90°，
在Rt△EDH中，DE=

EH2+DH2

=

x2-2x+4

，
∴EF=DE•tan60°=

3

•DE=

3x2-6x+12

；
i） 當⊙E與⊙F內切時，|x-(4-2x)|=

3x2-6x+12

．
解得，x1=

9+ 57

6

（舍），x2=

9- 57

6

（舍）；
ii）當⊙E與⊙F外切時，x+(4-2x)=

3x2-6x+12

．
解得x₁=1（舍），x₂=-2（舍）；
2°點F與點B重合時，即 x=1時，兩圓外切；
3°當點F在線段BG（點F不與點B重合）上時，
易得CF=4-2x，且△BDH∽△FDE仍然成立，
∴EF=

3x2-6x+12

．
由1°計算可知x=

9- 57

6

時兩圓內切．
綜上所述，當x=1時，兩圓外切，當x=

9- 57

6

時，兩圓內切．

點評：本題考查了相似形的綜合題以及三角函數、勾股定理、圓與圓的位置關系，注意分類思想在解題中的應用．