Question

證明：

1

3

≤

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

＜

1

2

（n為正整數(shù)）．

Answer 1

分析：利用

1

(2n+1)(2n-1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）把

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

（n為正整數(shù)）的每個分數(shù)進行轉(zhuǎn)化得到

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

），然后進行括號內(nèi)的加減運算，最后得到

n

2n+1

，n為正整數(shù)，當n=1時

n

2n+1

最小；并且

n

2n+1

＜

n

2n

=

1

2

，即可得到結(jié)論．

解答：證明：

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

1

2

•

2n

2n+1

=

n

2n+1

，
∵

1

2×1+1

≤

n

2n+1

＜

n

2n

，（n為正整數(shù)，n=1時

n

2n+1

最�。�，
∴

1

3

≤

n

2n+1

＜

1

2

，
∴

1

3

≤

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

＜

1

2

（n為正整數(shù)）．

點評：本題考查了有理數(shù)的混合運算：當n為正整數(shù)，分數(shù)

1

(2n+1)(2n-1)

可化為分數(shù)

1

2n-1

與

1

2n+1

分數(shù)的差的

1

2

．