Question

1．已知：如圖，平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)．且BE=CF．求證：平行四邊形ABCD是矩形．

Answer 1

分析 由平行四邊形的性質(zhì)得出OB=$\frac{1}{2}$BD，OC=$\frac{1}{2}$AC，由AAS證明△BEO≌△CFO，得出對應邊相等OB=OC，得出BD=AC，即可得出結論．

解答 證明：∵BE⊥AC，CF⊥BD，
∴∠OEB=∠OFC=90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD，OC=$\frac{1}{2}$AC，
在△BEO和△CFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OEB=∠OFC}&{\;}\\{∠BOE=∠COF}&{\;}\\{BE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEO≌△CFO（AAS），
∴OB=OC，
∴BD=AC，
∴平行四邊形是矩形．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的判定方法，證明三角形全等得出OB=OC是解決問題的關鍵