Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)A（﹣3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為M，直線(xiàn)y=﹣2x+9與y軸交于點(diǎn)C，與直線(xiàn)OM交于點(diǎn)D．現(xiàn)將拋物線(xiàn)平移，保持頂點(diǎn)在直線(xiàn)OD上．若平移的拋物線(xiàn)與射線(xiàn)CD（含端點(diǎn)C）只有一個(gè)公共點(diǎn)，求它的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的值或取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+4x+3；（2）h=4，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是≤h＜或h=4．

【解析】

試題分析：（1）直接用待定系數(shù)法就可以求出拋物線(xiàn)的解析式；

（2）由（1）的解析式求出拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出直線(xiàn)OD的解析式，設(shè)平移后的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，h），就可以表示出平移后的解析式，當(dāng)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)就可以求出h值，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)CD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)可以得出，得x2+（﹣2h+2）x+h2+h﹣9=0，從而得出△=（﹣2h+2）2﹣4（h2+h﹣9）=0求出h=4，從而得出結(jié)論．

解：（1）拋物線(xiàn)解析式y(tǒng)=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)A（﹣3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，

∴，

解得，

∴拋物線(xiàn)的解析式為y=x2+4x+3．

（2）由（1）配方得y=（x+2）2﹣1，

∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（﹣2，﹣1），

∴直線(xiàn)OD的解析式為y=x，

于是可設(shè)平移后的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，h），

∴平移后的拋物線(xiàn)的解析式為y=（x﹣h）2+h，

當(dāng)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，∵C（0，9），

∴h2+h=9．

解得h=，

∴當(dāng)≤h＜時(shí)，平移后的拋物線(xiàn)與射線(xiàn)CD只有一個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)拋物線(xiàn)與直線(xiàn)CD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，

由方程組，

得x2+（﹣2h+2）x+h2+h﹣9=0，

∴△=（﹣2h+2）2﹣4（h2+h﹣9）=0，

解得h=4，

此時(shí)拋物線(xiàn)y=（x﹣4）2+2與直線(xiàn)CD唯一的公共點(diǎn)為（3，3），點(diǎn)（3，3）在射線(xiàn)CD上，符合題意．

故平移后拋物線(xiàn)與射線(xiàn)CD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是≤h＜或h=4．