Question

（2012•瑤海區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作EF⊥AC于點E，交AB的延長線于點F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）當AB=5，BC=6時，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）連接OD，由AC=AB，根據(jù)等邊對等角得到一對角相等，再由OD=OB，根據(jù)等邊對等角得到又一對角相等，等量代換可得一對同位角相等，根據(jù)同位角相等兩直線平行可得OD與AC平行，又EF垂直于AC，根據(jù)垂直于兩平行線中的一條，與另一條也垂直，得到EF與OD也垂直，可得EF為圓O的切線；
（2）連接AD，由AB為圓的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角可得∠ADB=90°，即AD與BC垂直，又AC=AB，根據(jù)三線合一得到D為BC中點，由BC求出CD的長，再由AC的長，利用勾股定理求出AD的長，三角形ACD的面積有兩種求法，AC乘以DE除以2，或CD乘以AD除以2，列出兩個關系式，兩關系式相等可求出DE的長．

解答：
解：（1）連接OD，…（1分）
∵AB=AC，
∴∠C=∠OBD，
∵OD=OB，
∴∠1=∠OBD，…（2分）
∴∠1=∠C，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切線；…（3分）

（2）連接AD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，…（4分）
又∵AB=AC，且BC=6，
∴CD=BD=

1

2

BC=3，
在Rt△ACD中，AC=AB=5，CD=3，
根據(jù)勾股定理得：AD=

AC2-CD2

=4，
又S_△ACD=

1

2

AC•ED=

1

2

AD•CD，
即

1

2

×5×ED=

1

2

×4×3，
∴ED=

12

5

．…（5分）

點評：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，平行線的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積的求法，以及切線的判定，其中證明切線的方法為：有點連接圓心與此點，證垂直；無點過圓心作垂線，證明垂線段長等于圓的半徑．本題利用的是第一種方法．