Question

9、對(duì)任給的93個(gè)互異的正整數(shù)a₁，a₂，…，a₉₃，試證其中一定存在四個(gè)正整數(shù)a_m，a_n，a_p，a_q，使（a_m-a_n）（a_p-a_q）為1998的倍數(shù)．

Answer 1

分析：先把1998分解成兩個(gè)整數(shù)乘積的形式，再根據(jù)在93個(gè)互異的正整數(shù)a₁，a₂，…，a₉₃中必然存在這樣的四個(gè)正整數(shù)進(jìn)行解答即可．

解答：解：∵1998=37×54=74×27，
（1）由抽屜原理可知：
在93個(gè)互異的正整數(shù)a₁，a₂，…，a₉₃中，必有兩個(gè)數(shù)除以37后余數(shù)相同，設(shè)這兩個(gè)數(shù)為a_m和a_n，則a_m-a_n是37的倍數(shù)；
在剩下的91個(gè)數(shù)中，必有兩個(gè)數(shù)除以54后余數(shù)相同，設(shè)這兩個(gè)數(shù)為a_p和a_q，則a_p-a_q是54的倍數(shù)，
故一定存在四個(gè)正整數(shù)a_m，a_n，a_p，a_q，使（a_m-a_n）（a_p-a_q）為1998的倍數(shù)．

（2）由抽屜原理可知：
在93個(gè)互異的正整數(shù)a₁，a₂，…，a₉₃中，必有兩個(gè)數(shù)除以74后余數(shù)相同，設(shè)這兩個(gè)數(shù)為a_m和a_n，則a_m-a_n是74的倍數(shù)；
在剩下的91個(gè)數(shù)中，必有兩個(gè)數(shù)除以27后余數(shù)相同，設(shè)這兩個(gè)數(shù)為a_p和a_q，則a_p-a_q是27的倍數(shù)，
故一定存在四個(gè)正整數(shù)a_m，a_n，a_p，a_q，使（a_m-a_n）（a_p-a_q）為1998的倍數(shù)．
綜上，一定存在四個(gè)正整數(shù)a_m，a_n，a_p，a_q，使（a_m-a_n）（a_p-a_q）為1998的倍數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是數(shù)的整除性問(wèn)題，解答此題的關(guān)鍵是熟知抽屜原理．