Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AC，∠B=45°，AD=2，BC=6，以BC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在y軸上．
（1）求過A、D、C三點(diǎn)的拋物線的解析式．
（2）求△ADC的外接圓的圓心M的坐標(biāo)，并求⊙M的半徑．
（3）E為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，F(xiàn)為y軸上一點(diǎn)，求當(dāng)ED+EC+FD+FC最小時(shí)，EF的長．
（4）設(shè)Q為射線CB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上任意一點(diǎn)，問是否存在這樣的點(diǎn)P、Q，使得以P、Q、C為頂點(diǎn)的△與△ADC相似？若存在，直接寫出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；若不存在，則說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意知C（3，0）、A（0，3）．
如圖1，過D作x軸垂線，由矩形性質(zhì)得D（2，3）．
由拋物線的對(duì)稱性可知拋物線與x軸另一交點(diǎn)為（-1，0）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）．
將（0，3）代入得a=-1，所以y=-x²+2x+3．

（2）由外接圓知識(shí)知M為對(duì)稱軸與AC中垂線的交點(diǎn)．
由等腰直角三角形性質(zhì)得OM平分∠AOC，即y_OM=x，
∴M（1，1）．
連MC得MC=，即半徑為．

（3）如圖2，由對(duì)稱性可知：當(dāng)ED+EC+FD+FC最小時(shí)，E為對(duì)稱軸與AC交點(diǎn)，F(xiàn)為BD與y軸交點(diǎn)，
∵∠B=45°，∠AOB=90°，
∴AO=BO=3，故B點(diǎn)坐標(biāo)為：（-3，0），
再利用D（2，3），代入y=ax+b，得：
，
解得：，
故BD直線解析式為：y=x+，
當(dāng)x=0，y=，根據(jù)對(duì)稱軸為直線x=1，則y=2，
故F（0，）、E（1，2），
EF===．

（4）可得△ADC中，AD=2，AC=，DC=．
假設(shè)存在，顯然∠QCP＜90°，則∠QCP=45°或∠QCP=∠CAD．
如圖3，當(dāng)∠QCP=45°時(shí)，OR=OC=3，
則R點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），將C，R代入y=ax+b得出：
，
解得：，
這時(shí)直線CP的解析式為y=x-3，同理可得另一解析式為：y=-x+3．
當(dāng)直線CP的解析式為y=x-3時(shí)，
則x-3=-x²+2x+3，
解得：x₁=-2，x₂=3，
可求得P（-2，-5），
故PC==5．
設(shè)CQ=x，則，
解得：x=或x=15．
∴Q （-，0）或（-12，0）．
當(dāng)y=-x+3即P與A重合時(shí)，CQ=y，則=，
即=，或=，
解得CQ=2或9，
故Q （1，0）或（-6，0）．
如圖4，當(dāng)∠QCP=∠ACD時(shí)，設(shè)CP交y軸于H，連接ED，則ED⊥AC，
∴DE=，EC=2，
易證：△CDE∽△CHQ，
所以=，
∴HO=．
可求HC的解析式為y=x-．
聯(lián)解，
得P（-，-），PC=．
設(shè)CQ=x，知，
∴x=或x=，
∴Q（-，0）或（-，0）．
同理當(dāng)H在y軸正半軸上時(shí)，HC的解析式為y=-x+．
∴P’（-，），
∴PC=．
∴，
∴CQ=或，所以Q（，0）或（-，0）．
綜上所述，P₁（-2，-5）、Q₁（-，0）或（-12，0）；P₂（0，3）、Q₂（1，0）或（-6，0）；P₃（-，-）、Q₃（-，0）或（-，0）；P₄（-，）、Q₄（，0）或（-，0）．
分析：（1）過D作x軸垂線，由拋物線的對(duì)稱性可知拋物線與x軸另一交點(diǎn)為（-1，0）．再根據(jù)交點(diǎn)式即可求出過A、D、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）由外接圓知識(shí)知M為對(duì)稱軸與AC中垂線的交點(diǎn)．由等腰直角三角形性質(zhì)可得M點(diǎn)的坐標(biāo)，連MC得MC=，即為半徑；
（3）由對(duì)稱性可知：當(dāng)ED+EC+FD+FC最小時(shí)，E為對(duì)稱軸與AC交點(diǎn)，F(xiàn)為BD與y軸交點(diǎn)，再根據(jù)待定系數(shù)法求出BD直線解析式，從而得到E，F(xiàn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得EF的長；
（4）先求出直線CP的解析式為y=x-3或y=-x+3，再分情況討論求得以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△ADC相似時(shí)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的對(duì)稱軸公式和三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，利用三角形三邊關(guān)系得出|TM-TF|是解題關(guān)鍵．