Question

已知，如圖，拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A，B，點A的坐標為（4，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點M在拋物線上，且△ABC與△ABM的面積相等，直接寫出點M的坐標；
（3）點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE∥AC，交BC于點E，連接CQ．當(dāng)△CQE的面積最大時，求點Q的坐標；
（4）若平行于x軸的動直線l與線段AC交于點F，點D的坐標為（2，0）．問：是否存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請求出直線l的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A，C兩點坐標，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)△ABC與△ABM的面積相等，得出M的縱坐標為：±4，進而得出x的值即可；
（3）利用相似三角形的性質(zhì)得出S_△CQE=

1

2

x×4-

1

3

x²=-

1

3

x²+2x，進而求出即可；
（4）利用圖象以及等腰三角形的性質(zhì)假設(shè)若DO=DF時以及當(dāng)FO=FD和當(dāng)DF=OD時分別得出F點的坐標，將縱坐標代入二次函數(shù)解析式即可求出P點坐標．

解答：解：（1）∵點C（0，4），
∴c=4，
∵點A的坐標為（4，0），
∴0=16a-8a+4，
∴a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

x²+x+4；

（2）∵△ABC與△ABM的面積相等，
C點坐標為：（0，4），
∴M的縱坐標為：±4，
∴4=-

1

2

x²+x+4；
解得：x ₁=0，x ₂=2，
∴M點的坐標為：（2，4），
當(dāng)-4=-

1

2

x²+x+4；
解得：x ₁=1+

17

，x ₂=1-

17

，
∴M點的坐標為：（1+

17

，-4）或（1-

17

，-4），
∴綜上所述：M點的坐標為：（2，4）、（1+

17

，-4）或（1-

17

，-4）；

（3）∵B（-2，0，），AB=6，
S_△ABC=

1

2

×6×4=12，
設(shè)BQ=x，
∵EQ∥AC，
∴△BEQ∽△BCA，
∴（

BQ

AB

）²=

S△BEQ

S△ABC

=（

x

6

）²，
∴S_△BEQ=

x2

36

×12=

1

3

x²，
∴S_△CQE=

1

2

x×4-

1

3

x²=-

1

3

x²+2x，
當(dāng)x=-

b

2a

=

2

2× 1 3

=3時，S_△CQE面積最大，
∴Q點坐標為（1，0）；

（4）存在，
在△ODF中，
①若DO=DF，∵A（4，0），D（2，0），
∴AD=OD=DF=2，
又在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，
∴∠DFA=∠OAC=45°，
∴∠ADF=90°，此時，點F的坐標為：（2，2），
由-

1

2

x²+x+4=2，
解得：x₁=1+

5

，x₂=1-

5

，
此時，點P的坐標為：P（1+

5

，2）或P（1-

5

，2）；
②若FO=FD，過點F作FM⊥x軸于點M，
由等腰三角形的性質(zhì)得出：
OM=

1

2

OD=1，
∴AM=3，
∴在等腰三角形△AMF中，MF=MA=3，
∴F（1，3），
由-

1

2

x²+x+4=3，
解得：x₁=1+

3

，x₂=1-

3

，
此時，點P的坐標為：P（1+

3

，3）或P（1-

3

，3）；
③若OD=OF，∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，
∴AC=4

2

，
∴點O到AC的距離為2

2

，而OF=OD=2＜2

2

，
∴此時，不存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形．
綜上所述：存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形，所求點P的坐標為：
P（1+

5

，2）或P（1-

5

，2）或P（1+

3

，3）或P（1-

3

，3）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用和相似三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出（

BQ

AB

）²=

S△BEQ

S△ABC

=（

x

6

）²是解題關(guān)鍵．