Question

18．如圖，△AOB為等腰直角三角形，點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，PA⊥PB．
（1）如圖（1），為P點(diǎn)在第一象限時(shí)，求∠OPA；
（2）如圖（2），為P點(diǎn)在第二象限時(shí)，求∠OPA．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到∠AOB+∠APB=180°，推出A，P，B，O四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得到∠OPA=∠ABO，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABO=45°，于是求得∠OPA=45°；
（2）由已知條件得到∠AOB=∠APB=90°，推出A，P，B，O四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠OPA+∠ABO=180°，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵PA⊥PB，
∴∠AOB=∠APB=90°，
∴∠AOB+∠APB=180°，
∴A，P，B，O四點(diǎn)共圓，
∴∠OPA=∠ABO，
∵△AOB為等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，
∴∠OPA=45°；

（2）∵PA⊥PB，
∴∠AOB=∠APB=90°，
∴A，P，B，O四點(diǎn)共圓，
∴∠OPA+∠ABO=180°，
∵△AOB為等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，
∴∠OPA=135°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，證得A，P，B，O四點(diǎn)共圓是解題的關(guān)鍵．