Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，且AB=AC，點D在弧BC上運動，過點D作DE∥BC，DE交AB的延長線于點E，連接AD、BD．
（1）求證：∠ADB=∠E；
（2）當點D運動到什么位置時，DE是⊙O的切線？請說明理由．
（3）當AB=5，BC=6時，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圓周角定理及平行線的性質不難求解；
（2）要使DE是圓的切線，那么D就是求點，AD⊥DE，又根據AD過圓心O，BC∥ED，根據垂徑定理可得出D應是弧BC的中點．
（3）可通過構建直角三角形來求解，連接BO、AO，并延長AO交BC于點F，根據垂徑定理BF=CF，AF=R+OF，那么直角三角形OBF中可以用R表示出OF，OB，然后根據勾股定理求出半徑的長．
解答：（1）證明：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵DE∥BC，
∴∠ABC=∠E，
∴∠E=∠C，
又∵∠ADB=∠C，
∴∠ADB=∠E；

（2）解：當點D是弧BC的中點時，DE是⊙O的切線．
理由是：∵當點D是弧BC的中點時，AB=AC，
∴AD是直徑，
∴AD⊥BC，
∴AD過圓心O，
又∵DE∥BC，
∴AD⊥ED．
∴DE是⊙O的切線；

（3）解：過點A作AF⊥BC于F，連接BO，
則點F是BC的中點，BF=BC=3，
連接OF，則OF⊥BC（垂徑定理），
∴A、O、F三點共線，
∵AB=5，
∴AF=4；
設⊙O的半徑為r，在Rt△OBF中，OF=4-r，OB=r，BF=3，
∴r²=3²+（4-r）²
解得r=，
∴⊙O的半徑是．
點評：本題主要考查了圓周角定理，切線的判定，平行線的性質，垂徑定理等知識點，正確運用好圓心角，弧，弦的關系是解題的關鍵．