Question

10．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，CD=1，點(diǎn)E為斜邊AB上動(dòng)點(diǎn)，連接CE、DE，則△CDE周長的最小值是6．

Answer 1

分析 如圖，作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M，連接DM與AB交于點(diǎn)E，此時(shí)EC+ED最小，且EC+ED=EM+DE=DM，只要證明△MBD是直角三角形即可解決問題．

解答 解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M，連接DM與AB交于點(diǎn)E，此時(shí)EC+ED最小，連接BM．
∵∠ACB=90°，AC=CB=4，CD=1，
∴∠A=∠ABC=45°，DB=BC-CD=3，
∵C、M關(guān)于AB對(duì)稱，
∴BM=BC=4，∠ABM=∠ABC=45°，EC=EM，
∴∠MBD=90°，
∴EC+ED=EM+ED=DM=$\sqrt{B{D}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}$=5．
∴△CDE的周長為5+1=6．
故答案為6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查最短問題、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用對(duì)稱確定最值，需要正確畫圖找到點(diǎn)E的位置，最后利用勾股定理求出最小值，這里體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中考�？碱}型．