Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0），與y軸負(fù)半軸交于C，頂點(diǎn)為D．
（1）當(dāng)OC=OB時(shí)，求拋物線的解析式；
（2）在（1）的條件下，拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△ACP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)C恰好落在拋物線上若存在，求旋轉(zhuǎn)后△ACP三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若拋物線y=ax²+bx+c與y軸的交點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上移動(dòng)，則△ACD與△ACB面積之比是否為一定值？若是定值，請(qǐng)求出其值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由題意知：OB=3，因此OC=OB=3，即C（0，-3），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），已知拋物線過(guò)C點(diǎn)，則有：
a（0+1）（0-3）=-3，a=1，
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x-3．

（2）A、C、P對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-5）（1，-4）（1，-3），
或（-1，-4），（2，-3），（1，-2）．

（3）y=ax²-2ax-3a（a＞0），
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3a），D（1，-4a），
∴S_△ACB=×4×3a=6a，
∴S_△ACD=×1×3a+（3a+4a）×1-×2×4a=a，
∴．
分析：（1）可根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)和OB=OC得出C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)即可求出拋物線的解析式．
（2）本題分兩種情況：
①如圖：易知：C（0，-3），D（1，-4），如果過(guò)C作x軸的平行線，交拋物線的對(duì)稱軸與M，那么三角形CMD是等腰直角三角形，因此M點(diǎn)符合P點(diǎn)的要求．此時(shí)C′與D重合，因此P（1，-3），C′（1，-4），A′（-2，-5）．（求A′坐標(biāo)時(shí)，設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E點(diǎn)，過(guò)A′作拋物線對(duì)稱軸的垂線設(shè)垂足為F，可以用全等三角形APE和PA′F來(lái)求出A′的坐標(biāo)）
②如圖：取C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′，那么AC′與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)也符合P點(diǎn)的條件，此時(shí)三角形CPC′是等腰直角三角形，因此∠APA′是等腰直角三角形，那么此時(shí)P（1，-2），C（2，-3），A（-1，-4）．
（3）可將A、B坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，求出a、b，a、c的關(guān)系，然后將拋物線解析式中的b、c用a替換掉，進(jìn)而可用a表示出C、D的坐標(biāo)，然后分別求出三角形ACB和三角形ACD的面積即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形的旋轉(zhuǎn)變換、圖形面積的求法等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大．