Question

在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸的正半軸上，點B的坐標為（0，4），BC平分∠ABO交x軸于點C（2，0）．點P是線段AB上一個動點（點P不與點A，B重合），過點P作AB的垂線分別與x軸交于點D，與y軸交于點E，DF平分∠PDO交y軸于點F．設點D的橫坐標為t．
（1）如圖1，當0＜t＜2時，求證：DF∥CB；
（2）當t＜0時，在圖2中補全圖形，判斷直線DF與CB的位置關系，并證明你的結論；
（3）若點M的坐標為（4，-1），在點P運動的過程中，當△MCE的面積等于△BCO面積的

5

8

倍時，直接寫出此時點E的坐標．

Answer 1

考點：平行線的判定與性質,坐標與圖形性質,垂線,三角形的面積,三角形內角和定理,三角形的外角性質

專題：

分析：（1）求出∠PBO+∠PDO=180°，根據角平分線定義得出∠CBO=

1

2

∠PBO，∠ODF=

1

2

∠PDO，求出∠CBO+∠ODF=90°，求出∠CBO=∠DFO，根據平行線的性質得出即可；
（2）求出∠ABO=∠PDA，根據角平分線定義得出∠CBO=

1

2

∠ABO，∠CDQ=

1

2

∠PDO，求出∠CBO=∠CDQ，推出∠CDQ+∠DCQ=90°，求出∠CQD=90°，根據垂直定義得出即可；
（3）分為兩種情況：根據三角形面積公式求出即可．

解答：（1）證明：如圖1．
∵在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸的正半軸上，點B的坐標為（0，4），
∴∠AOB=90°．
∵DP⊥AB于點P，
∴∠DPB=90°，
∵在四邊形DPBO中，∠DPB+∠PBO+∠BOD+∠PDO=360°，
∴∠PBO+∠PDO=180°，
∵BC平分∠ABO，DF平分∠PDO，
∴∠CBO=

1

2

∠PBO，∠ODF=

1

2

∠PDO，
∴∠CBO+∠ODF=

1

2

（∠PBO+∠PDO）=90°，
∵在△FDO中，∠OFD+∠ODF=90°，
∴∠CBO=∠DFO，
∴DF∥CB． 

（2）直線DF與CB的位置關系是：DF⊥CB，
證明：延長DF交CB于點Q，如圖2，
∵在△ABO中，∠AOB=90°，
∴∠BAO+∠ABO=90°，
∵在△APD中，∠APD=90°，
∴∠PAD+∠PDA=90°，
∴∠ABO=∠PDA，
∵BC平分∠ABO，DF平分∠PDO，
∴∠CBO=

1

2

∠ABO，∠CDQ=

1

2

∠PDO，
∴∠CBO=∠CDQ，
∵在△CBO中，∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠CDQ+∠DCQ=90°，
∴在△QCD中，∠CQD=90°，
∴DF⊥CB． 

（3）解：過M作MN⊥y軸于N，
∵M（4，-1），
∴MN=4，ON=1，
當E在y軸的正半軸上時，如圖3，
∵△MCE的面積等于△BCO面積的

5

8

倍時，
∴

1

2

×2×OE+

1

2

×（2+4）×1-

1

2

×4×（1+OE）=

5

8

×

1

2

×2×4，
解得：OE=

7

2

，
當E在y軸的負半軸上時，如圖4，

1

2

×（2+4）×1+

1

2

×（OE-1）×4-

1

2

×2×OE=

5

8

×

1

2

×2×4，
解得：OE=

3

2

，
即E的坐標是（0，

7

2

）或（0，-

3

2

）．

點評：本題考查了平行線的性質和判定，三角形內角和定理，坐標與圖形性質，三角形的面積的應用，題目綜合性比較強，有一定的難度．