Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，O為AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心、OA為半徑的⊙O切BC于D，連結(jié)AD．
（1）求證：AD平分∠CAB．
（2）若∠B=30°，求證：AC²=CD•CB．

Answer 1

（1）證明：連接OD，
∵⊙O切BC于D，
∴OD⊥BC，
∵AC⊥BC，
∴AC∥OD，
∴∠CAD=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠CAD，
即AD平分∠CAB；

（2）∵∠B=30°，∠C=90°，
∴∠CAB=60°，
由（1）知∠OAD=∠CAD，則∠CAD=30°，
∴∠CAD=∠B，
∵∠C=∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴，
∴AC²=CD•CB．
分析：（1）首先連接OD，由Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O切BC于D，易證得AC∥OD，繼而證得AD平分∠CAB．
（2）由∠B=30°，易求得∠CAD=∠B，繼而證得△CAD∽△CBA，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．