Question

1．如圖，在平面直角坐標系中，正方形A₁B₁C₁D₁、D₁E₁E₂B₂、A₂B₂C₂D₂、D₂E₃E₄B₃、A₃B₃C₃D₃，…，按圖示的方式放置，其中點B₁在y軸上，點C₁、E₁、E₂、C₂、E₃、E₄、C₃，…，在x軸上，已知正方形A₁B₁C₁D₁的邊長為1，∠B₁C₁O=60°，B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃，…，則正方形A₂₀₁₆B₂₀₁₆C₂₀₁₆D₂₀₁₆的邊長是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁵
• B． （$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁶
• C． （$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²⁰¹⁶
• D． （$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²⁰¹⁵

Answer 1

分析 利用正方形的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出正方形的邊長，進而得出變化規(guī)律即可得出答案．

解答 解：如圖所示：∵正方形A₁B₁C₁D₁的邊長為1，∠B₁C₁O=60°，B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃…
∴D₁E₁=B₂E₂，D₂E₃=B₃E₄，∠D₁C₁E₁=∠C₂B₂E₂=∠C₃B₃E₄=30°，
∴D₁E₁=C₁D₁sin30°=$\frac{1}{2}$，則B₂C₂=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）¹，
同理可得：B₃C₃=$\frac{1}{3}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²，
故正方形A_nB_nC_nD_n的邊長是：（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）^n-1．
則正方形A₂₀₁₆B₂₀₁₆C₂₀₁₆D₂₀₁₆的邊長是：（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²⁰¹⁵．
故選：D．

點評 此題主要考查了正方形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，得出正方形的邊長變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．