Question

如圖，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CA、CB分別相交于點(diǎn)P、Q，則線段PQ長(zhǎng)度的最小值是（ ）

A．2
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：中點(diǎn)為F，圓F與AB的切點(diǎn)為D，連接FD，連接CF，CD，則有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形FC+FD=PQ，由三角形的三邊關(guān)系知，CF+FD＞CD；只有當(dāng)點(diǎn)F在CD上時(shí)，F(xiàn)C+FD=PQ有最小值為CD的長(zhǎng)，即當(dāng)點(diǎn)F在直角三角形ABC的斜邊AB的高上CD時(shí)，PQ=CD有最小值，由直角三角形的面積公式知，此時(shí)由直角三角形ABC的面積等于兩直角邊乘以的一半來求，也利用由斜邊乘以斜邊上的高CD來求出，根據(jù)面積相等可得出CD的長(zhǎng)，即為線段PQ長(zhǎng)度的最小值．
解答：解：線段PQ長(zhǎng)度的最小值時(shí)，PQ為圓的直徑，
如圖，設(shè)QP的中點(diǎn)為F，圓F與AB的切點(diǎn)為D，連接FD、CF、CD，

∵圓F與AB相切，∴FD⊥AB，
∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴∠ACB=90°，F(xiàn)C+FD=PQ，
∴CF+FD＞CD，且PQ為圓F的直徑，
∵當(dāng)點(diǎn)F在直角三角形ABC的斜邊AB的高上CD時(shí)，PQ=CD有最小值，即CD為圓F的直徑，
且S_△ABC=BC•CA=CD•AB，
∴CD==．
故選B
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，垂線段最短，圓周角定理，以及直角三角形面積的求法，其中根據(jù)題意得：當(dāng)點(diǎn)F在直角三角形ABC的斜邊AB的高上CD時(shí)，PQ=CD為最小值是解本題的關(guān)鍵．