Question

如圖，△ABC中，∠ABC=45°，過點C作CD⊥AB于點D，過點B作BM⊥AC于點M，BM交CD于點E，且點E為CD的中點，連接MD，過點D作ND⊥MD于點D，DN交BM于點N．
（1）若BC=2

2

，求△BDE的周長；
（2）求證：NE-ME=CM．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,勾股定理

專題：證明題

分析：（1）根據等腰直角三角形的性質求出BD=CD=2，再求出DE，然后利用勾股定理列式求出BE，最后根據三角形的周長公式列式計算即可得解；
（2）根據同角的余角相等求出∠ABN=∠ACD，∠BDN=∠CDM，然后利用“角邊角”證明△BDN和△CDM全等，根據全等三角形對應邊相等可得DN=DM，從而得到△DMN是等腰直角三角形，過點D作DF⊥BE于F，利用“角角邊”證明△DEF和△CEM全等，根據全等三角形對應邊相等可得DF=CM，EF=ME，然后根據等腰直角三角形的性質并結合圖形整理即可得證．

解答：（1）解：∵∠ABC=45°，CD⊥AB，
∴在Rt△BCD中，∠DBC=∠DCB=45°，
∵BC=2

2

，
∴BD=CD=2

2

×

2

2

=2，
∵點E為CD的中點，
∴DE=CE=

1

2

CD=

1

2

×2=1，
∴BE=

BD2+DE2

=

22+12

=

5

，
∴△BDE的周長=BD+DE+BE=2+1+

5

=3+

5

；

（2）證明：∵CD⊥AB，BM⊥AC，
∴∠ABN+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴∠ABN=∠ACD，
∵CD⊥AB，ND⊥MD，
∴∠BDN+∠CDN=∠CDM+∠CDN=90°，
∴∠BDN=∠CDM，
在△BDN和△CDM中，

∠ABN=∠ACD BD=CD ∠BDN=∠CDM

，
∴△BDN≌△CDM（ASA），
∴DN=DM，
∴△DMN是等腰直角三角形，
過點D作DF⊥BE于F，則DF=NF，
∵BM⊥AC于點M，
∴∠DFE=∠CME=90°，
在△DEF和△CEM中，

∠DFE=∠CME ∠DEF=∠CEM DE=CE

，
∴△DEF≌△CEM（AAS），
∴DF=CM，EF=ME，
∴NE-ME=NE-EF=NF=DF=CM，
即NE-ME=CM．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質，作輔助線構造成全等三角形是解題的關鍵，難點在于多次證明三角形全等．