Question

如果一條拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以該拋物線的頂點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”．
（1）“拋物線三角形”一定是

 

三角形；
（2）如圖，△OAB是拋物線y=-x²+bx（b＞0）的“拋物線三角形”，是否存在以原點(diǎn)O為對(duì)稱中心的矩形ABCD？若存在，求出過O、C、D三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；若不存在，說明理由；
（3）在（2）的條件下，若以點(diǎn)E為圓心，r為半徑的圓與線段AD只有一個(gè)公共點(diǎn)，求出r的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知AO=AB，然后根據(jù)等腰三角形的定義判斷；
（2）根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分且相等可得OA=OB，然后判斷出△AOB是等邊三角形，令y=0求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，得到OB的長，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出OE、AE，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式求出b的值，再根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（3）求出DE的長，再利用銳角三角函數(shù)求出點(diǎn)E到AD的距離，然后根據(jù)圓與線段只有一個(gè)交點(diǎn)寫出r的取值范圍即可．

解答：解：（1）∵O、B是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，A是拋物線的頂點(diǎn)，
∴AO=AB，
∴△AOB是等腰三角形，
∴“拋物線三角形”一定是等腰三角形；

（2）∵以原點(diǎn)O為對(duì)稱中心的四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
∴△AOB是等邊三角形，
令y=0，則-x²+bx=0，
解得x₁=0，x₂=b，
∴OB=b，
∵AE⊥OB，
∴OE=

b

2

，AE=

3

2

b，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

b

2

，

3

2

b），
代入拋物線得，-（

b

2

）²+b×

b

2

=

3

2

b，
解得b=2

3

，
∴點(diǎn)A（

3

，3），
∵C、D分別為A、B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，
∴C（-

3

，-3），D（-2

3

，0），
設(shè)過O、C、D三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式為y=ax²+bx，
則

3a- 3 b=-3 12a-2 3 b=0

，
解得

a=1 b=2 3

，
所以，過O、C、D三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式為y=x²+2

3

x；

（3）由（2）可知，∵△AOB是等邊三角形，
∴∠ADE=90°-60°=30°，
又∵DE=OE+OD=

2 3

2

+2

3

=3

3

，
∴點(diǎn)E到AD的距離=DE•sin30°=3

3

×

1

2

=

3 3

2

，
∴當(dāng)r=

3 3

2

或3＜r≤3

3

時(shí)，以點(diǎn)E為圓心，r為半徑的圓與線段AD只有一個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了拋物線的對(duì)稱性，矩形的性質(zhì)等邊三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，直線與圓的位置關(guān)系，讀懂題目信息，理解“拋物線三角形”是解題的關(guān)鍵，（3）要注意圓與線段AD相切的情況．