Question

求證：矩形的四個頂點處的四個外角的平分線所圍成的四邊形是正方形．

已知：如圖，四邊形EFGH是由矩形ABCD的外角平分線圍成的四邊形．

求證：四邊形EFGH是正方形．

Answer 1

答案：
解析：

證明：∵HE、FE都是矩形ABCD的外角平分線， 　　∴∠EAB＝∠EBA＝． 　　∴∠E＝． 　　同理可證∠F＝∠G＝∠H＝． 　　∴四邊形EFGH是矩形． 　　又∵AD＝BC，∠BCF＝∠CBF＝∠HAD＝∠HDA＝， 　　∴△ADH≌△BCF． 　　∴AH＝BF． 　　又∵∠EAB＝∠EBA＝， 　　∴EA＝EB． 　　∴EA＋AH＝EB＋BF． 　　即EH＝EF． 　　∴四邊形EFGH是正方形．

提示：

點悟：由于EFGH是由矩形的外角平分線組成，故易證明四邊形EFGH是矩形，只需再證明其有一組鄰邊相等即可．由圖形易知EA＝EB，只需證AH＝BF即可，而易證△BFC和△AHD全等，故命題得證． 　　點撥：判定正方形的方法一般是先證其是矩形，再證其有一組鄰邊相等；或先證其是菱形，再證其有一個角是直角．