Question

如圖，△ABC中，∠B與∠C的平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作，F(xiàn)E∥BC交AB于點(diǎn)E，交AC與點(diǎn)F，則線段EF=BE+CF嗎？若AB=13，AC=14，則△AEF的周長(zhǎng)是多少？

Answer 1

解：（1）EF=BE+CF．理由如下：
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO=∠OBC；
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，
∴∠EBO=∠EOB；
∴EO=BE，
同理可得OF=FC，
∴EO+OF=BE+FC，
即EF=BE+CF．

（2）∵EF∥BC，
∴∠OCB=∠COF，∠OBC=∠BOE，
又BO、CO分別是∠BAC和∠ACB的角平分線，
∴∠COF=∠FCO，∠BOE=∠OBE，
∴OF=CF，OE=BE，
∴△AEF的周長(zhǎng)=AF+OF+OE+AE=AF+CF+BE+AE=AB+AC=27．
則△AEF的周長(zhǎng)是27．
分析：（1）先根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等及角平分線定義，得到∠OBE=∠EOB，根據(jù)等角對(duì)等邊得到EO=BE，同理OF=FC，所以EF=EO+OF=BE+CF．
（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，以及根據(jù)角平分線性質(zhì)，可得△FOC、△EOB均為等腰三角形，由此把△AEF的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為AC+AB；也可由（1）直接得出．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定及性質(zhì)；對(duì)相等的線段進(jìn)行有效等量代換是解答本題的關(guān)鍵．