Question

4．（1）如圖①，D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，DE=EF，F(xiàn)C∥AB，求證：AB-CF=BD；
（2）如圖②，在△ABC中，AD、BE分別是BC、AC邊上的高，EB、AD的延長線交于點(diǎn)H，且AC=BH．求證：∠ABC=135°．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠A=∠FCE，根據(jù)AAS推出△ADE≌△CFE，利用全等三角形的性質(zhì)可得AD=CF，等量代換即可；
（2）首先求出∠H=∠C，進(jìn)而在△ADC和△BDH中利用AAS證明△ADC≌△BDH，即可得到AD=DB，于是得到△ADB是等腰直角三角形，即可證明結(jié)論．

解答 證明：（1）∵FC∥AB，
∴∠A=∠FCE，
在△ADE和△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠FEC}\\{∠A=∠FCE}\\{DE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD=CF，
∵AB-AD=BD，
∴AB-CF=BD；

（2）∵HE⊥AC，
∴在Rt△AEH中，∠H+∠HAE=90°，
∵AD⊥DC，
∴在Rt△ADC中，∠C+∠HAE=90°，
∴∠H=∠C，
在△ADC和△BDH中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠H}\\{∠ADC=∠BDH=90°}\\{AC=BH}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BDH（AAS），
∴AD=DB，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°，
∴∠ABC=180°-45°=135°．

點(diǎn)評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握AAS證明兩三角形全等，此題難度不大．