Question

20．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，點D是AC的中點，將一塊銳角45°的三角形如圖放置，使三角形斜邊的兩個端點分別與A、D重合，E為直角頂點，連接EC、BE
（1）延長CE、BA交于F，設(shè)BE與AC相交于點O，則OE與EF的關(guān)系應(yīng)為OE=EF，OE⊥EF；
（2）在（1）的條件下，已知AF=2，AO=1，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）由題意可知△EAB≌△EDC得BE=EC，∠AEB=∠DEC，進(jìn)而可以證明∠BEC=90°，然后證明△BEF≌△CEO即可解決問題．
（2）由（1）可知BF=OC，設(shè)AB=x則BF=x+2，OC=2x-1，故x+2=2x-1解方程即可．

解答 （1）結(jié)論OE=EF，OE⊥EF．理由如下：
證明：∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一個銳角是45°，
∴∠EAD=∠EDA=45°
∴AE=DE，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°，
∠EDC=∠ADC-∠EDA=180°-45°=135°，
∴∠EAB=∠EDC，
∵D是AC的中點，
∴AD=CD=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=2AB，
∴AB=AD=DC，
∵在△EAB和△EDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{∠EAB=∠EDC}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△EAB≌△EDC（SAS），
∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，
∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=90°，
∴BE⊥EC，
∵∠F+∠ACF=90°，∠F+∠FBE=90°，
∴∠FBE=∠OCE，
在△BEF和△CEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBE=∠ECO}\\{∠BEF=∠OEC}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△CEO，
∴OE=EF，OE⊥EF．
（2）由（1）可知△BEF≌△CEO，
∴BF=CO，設(shè)AB=x，則AC=2x，BF=x+2，OC=2x-1，
∴x+2=2x-1，
∴x=3，
∴AB=3．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是用了兩次全等，學(xué)會用方程的思想解決問題，屬于中考常考題型．