Question

10．把一邊長為30cm的正方形硬紙板四角各剪一個同樣大小的正方形，將剩余部分折成一個無蓋的長方體形狀的盒子（紙板的厚度忽略不計）．
①要使折成的長方體盒子的底面積為576m²，那么剪掉的正方形的邊長是多少？
②折成的長方體盒子的側(cè)面積是否有最大值？如果有，求出這個最大值和此時剪掉的正方形的邊長；如果沒有，說明理由．

Answer 1

分析 ①設(shè)剪掉的正方形邊長為xcm，則折成的長方體盒子地面正方形邊長為（30-2x），根據(jù)正方形面積=邊長的平方列出方程求解即可；
②根據(jù)側(cè)面積=4×長方體的長×高列出函數(shù)關(guān)系式，配方可得其最大值．

解答 解：①設(shè)剪掉的正方形邊長為xcm，則折成的長方體盒子地面正方形邊長為（30-2x）cm，
根據(jù)題意，得：（30-2x）²=576，
解得：x=3或x=27（舍去），
故剪掉的正方形的邊長是3cm；
②根據(jù)題意知，側(cè)面矩形的長為（30-2x）cm，寬為xcm，
則長方體盒子的側(cè)面積S=4x（30-2x）=-8x²+120x=-8（x-$\frac{15}{2}$）²+450，
∴當(dāng)x=$\frac{15}{2}$時，S取得最大值，最大值為450，
答：當(dāng)剪掉的正方形的邊長為$\frac{15}{2}$cm時，長方體盒子的側(cè)面積有最大值450cm²．

點評 本題主要考查一元二次方程、二次函數(shù)的實際應(yīng)用能力，根據(jù)題意列出方程或函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵．