Question

如圖1，已知拋物線y=a（x-

7

2

）²+c與x軸交與A、B兩點(diǎn)，與y軸交與點(diǎn)C，B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3）．點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與A、B兩點(diǎn)重合）．在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，始終有一條過點(diǎn)P且和y軸平行的直線也隨之運(yùn)動(dòng)，該直線與拋物線的交點(diǎn)為M，與直線BC的交點(diǎn)為N．
（1）①求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
 ②直接寫出直線BC的函數(shù)表達(dá)式．
（2）①如圖2，連接MO、MB、ON，設(shè)四邊形OMBN的面積為S，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，S是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
②當(dāng)S的值最大時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)F，使△MNE的周長最��？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）如圖3，過點(diǎn)N作NH⊥y軸于點(diǎn)H，連接MH，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)△MNH和△OBC相似時(shí)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）①將B點(diǎn)、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法可確定拋物線的函數(shù)表達(dá)式；②由B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可得直線BC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）①設(shè)P（x，0），則M（x，-

1

2

x²+

7

2

x-3），N（x，

1

2

x-3），表示出MN，繼而得出S的表達(dá)式．利用配方法求最值即可；
②由題意得：M（3，3），N（3，-

3

2

），則M（3，3）關(guān)于x=

7

2

的對(duì)稱點(diǎn)M₁為（4，3），求出直線M₁N的表達(dá)式，根據(jù)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為

7

2

，可求出點(diǎn)F的縱坐標(biāo)，繼而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（3）分兩種情況討論，①△NMH∽△OBC，②△NMH∽△OCB，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例解出x的值，繼而可得點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）①將點(diǎn)B（6，0），點(diǎn)C（0，-3）代入拋物線解析式可得：

0= 25 4 a+c -3= 49 4 a+c

，
解得：

a=- 1 2 c= 25 8

，
∴y=-

1

2

（x-

7

2

）+

25

8

．
②設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
則

6k+b=0 b=-3

，
解得：

k= 1 2 b=-3

，
∴直線BC的解析式為：y=

1

2

x-3．

（2）①設(shè)P（x，0），則M（x，-

1

2

x²+

7

2

x-3），N（x，

1

2

x-3），
∴MN=-

1

2

x²+

7

2

x-3-（

1

2

x-3）=-

1

2

x²+3x，
S=

1

2

（-

1

2

x²+3x）×6
=-

3

2

x²+9x
=-

3

2

（x²-6x+9-9）
=-

3

2

（x-3）²+

27

2

，
∵-

3

2

＜0，
∴當(dāng)x=3時(shí)，S_最大=

27

2

．
②由題意得：M（3，3），N（3，-

3

2

），
M（3，3）關(guān)于x=

7

2

的對(duì)稱點(diǎn)M₁為（4，3），
設(shè)直線M₁N的表達(dá)式為y=mx+n，將（4，3），（3，-

3

2

）代入得：

4m+n=3 3m+n=- 3 2

，
解得：

m= 9 2 n=-15

，
∴y=

9

2

x-15
令x=

7

2

，
∴y=

3

4

，
∴F（

7

2

，

3

4

）．

（3）當(dāng)△NMH∽△OBC，則

- 1 2 x2+3x

x

=

6

3

=2，
解得：x₁=0（舍去），x₂=2，
∴M（2，2）．
當(dāng)△NMH∽△OCB，則

- 1 2 x2+3x

x

=

3

6

=

1

2

，
解得：x₁=0（舍去），x₂=5，
∴M（5，2）．
綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（5，2）或（2，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、配方法求二次函數(shù)最值及利用軸對(duì)稱求最短路徑的知識(shí)，綜合的知識(shí)點(diǎn)較多，解答本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想的運(yùn)用，難度較大．