Question

如圖，一元二次方程x²+2x-3=0的二根x₁，x₂（x₁＜x₂）是拋物線y=ax²+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)B，C的橫坐標(biāo)，且此拋物線過(guò)點(diǎn)A（3，6）．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)此拋物線的頂點(diǎn)為P，對(duì)稱軸與線段AC相交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，當(dāng)MQ+MA取得最小值時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先求出一元二次方程的兩個(gè)根，即可知與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，設(shè)出兩點(diǎn)式，用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸方程，根據(jù)A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求出線段AC所在直線的表達(dá)式，求出兩方程的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，故當(dāng)此三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)MQ+MA取得最小值，作A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′Q；A′Q與x軸交于點(diǎn)M即為所求的點(diǎn)．

解答：解：（1）解方程x²+2x-3=0
得x₁=-3，x₂=1（11分）
∴拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為：C（-3，0），B（1，0）（2分）
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1）（a≠0）．（3分）
∵A（3，6）在拋物線上
∴6=a（3+3）（3-1），
∴a=

1

2

．（4分）
∴拋物線解析式為：y=

1

2

x²+x-

3

2

（5分）．

（2）由y=

1

2

x²+x-

3

2

=

1

2

（x+1）²-2（6分）
∴拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（-1，-2），對(duì)稱軸方程為：x=-1．（7分）
設(shè)直線AC的方程為：y=k₁x+b₁．
∵A（3，6），C（-3，0），
∴在該直線上

3k1+b1=6 -3k1+b1=0

，
解得

b1=3 k1=1

直線AC的方程為：y=x+3（9分）
將x=-1代入y=x+3得y=2，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2）．（10分）

（3）作A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（3，-6），
連接A'Q；A'Q與x軸交于點(diǎn)M即為所求的點(diǎn)（11分）
設(shè)直線A'Q方程為y=kx+b
∴

3k+b=-6 -k+b=2

解得

b=0 k=-2

．
∴直線A'Q：y=-2x（12分）
令x=0，則y=0（13分）．
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，比較復(fù)雜．