Question

如圖，已知直線y=

3

4

x-1與y軸交于點C，將拋物線y=-

1

4

（x-2）²向上平移n個單位（n＞0）后與x軸交于A，B兩點．
（1）直接寫出點C的坐標；
（2）當經過C，A，B三點的圓的面積最小時，
①求n的值；
②在y軸右側的拋物線上是否存在一點P，使得⊙P既與直線y=

3

4

x-1相切，又與y軸相切？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由直線y=

3

4

x-1與y軸交于點C，令x=0，求得y的值，即可求得點C的坐標；
（2）①首先設平移后二次函數的解析式為y=-

1

4

（x-2）²+n，由過C，A，B三點的圓的圓心一定在直線x=2上，點C為定點，即可得：當圓的半徑等于點C到直線x=2的距離時，圓的半徑最小，從而圓的面積最小，則可求得n的值；
②分別從當點P在直線AC下方時與當點P在直線AC上方時去分析，借助于相似三角形的對應邊成比例即可求得答案．

解答：解：
（1）令x=0，y=0-1=-1，
∴點C的坐標（0，-1）；

（2）①平移后二次函數的解析式為y=-

1

4

（x-2）²+n，
由題意知：過C，A，B三點的圓的圓心一定在直線x=2上，點C為定點．
∴當圓的半徑等于點C到直線x=2的距離時，圓的半徑最小，從而圓的面積最�。�
此時，圓的半徑為2，面積為4π．
設圓心為M，直線x=2與x軸交于點D，連接AM，則AM=2，
∵CM=2，OC=1，∴DM=1．
在Rt△AMD中，AD=

AM2-DM2

=

22-12

=

3

，
∴點A的坐標是（2-

3

，0），代入拋物線得n=

3

4

．
∴當n=

3

4

時，過C，A，B三點的圓的面積最小，最小面積為4π；

②如圖2，當點P在直線y=

3

4

x-1下方時，
設直線y=

3

4

x-1與x軸相交于點E，過點P作PN⊥EC于點N，PM∥y軸交EC于點M，則∠PMN=∠OCE，∠PNM=∠COE=90°，
∴△PMN∽△ECO，
∴

PM

CE

=

PN

OE

，
令y=

3

4

x-1=0．則x=

4

3

，即OE=

4

3

，CE=

5

3

，
設點P的橫坐標為m，則PM=MH+PH，
即PM=

3

4

m-1+

1

4

（m-2）²-

3

4

=

1

4

（m²-m-3），
∴PN=

PM•OE

CE

=

1

5

（m²-m-3），
根據題意，

1

5

（m²-m-3）=m，
解得m₁=3+2

3

，m₂=3-2

3

（不合題意，舍去），
即點P的坐標是（3+2

3

，-

5

2

-

3

），
當點P在直線y=

3

4

x-1上方時，同理可得

1

5

（m²-m-3）=-m，
解得m₃=-

7

-2（不合題意，舍去），m₄=

7

-2，即點P的坐標是（

7

-2，2

7

-5），
綜上，點P的坐標是（3+2

3

，-

5

2

-

3

）或（

7

-2，2

7

-5）．

點評：此題考查了一次函數與坐標軸交點的特點，二次函數的平移以及圓的性質等知識．此題綜合性很強，解題的關鍵是注意數形結合思想與分類討論思想的應用．