Question

△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，關于x的方程x²－2ax＋b²=0的兩根為x₁、x₂，x軸上兩點M、N的坐標分別為（x₁，0）、（x₂，0），其中M的坐標是(a＋c，0)；P是y軸上一點，點

【小題1】試判斷△ABC的形狀，并說明理由
【小題2】若S_△MNP＝3S_△NOP，
①求sinB的值；
②判斷△ABC的三邊長能否取一組適當的值，使△MND是等腰直角三角形？如能，請求出這組值；如不能，請說明理由

Answer 1

【小題1】證明：∵點
∴               1分
∴  ∴．    1分
由勾股定理的逆定理得：
為直角三角形且∠A＝90°          1分
【小題2】解：①如圖所示；
∵
∴  即       1分
又 ∴ 
∴，是方程x²－2ax＋b²＝0的兩根
∴   ∴         1分
由(1)知：在中，∠A＝90°
由勾股定理得     ∴sinB＝         1分
②能               1分
過D作DE⊥x軸于點   則NE＝EM   DN＝DM
要使為等腰直角三角形，只須ED＝MN＝EM
∵      ∴  
∴  又c＞0，∴c＝1               1分
由于c＝a   b＝a  ∴a＝  b＝             1分
∴當a＝，b＝，c＝1時，為等腰直角三角形         1分

解析1）先根據根與系數的關系及點M的坐標得出a、b、c之間的關系，再根據勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀；
（2）①由S_△MNP=3S_△NOP可得出MN=3ON即MO=4O，再由M點的坐標可求出N點坐標，
可得出ab之間的關系，再根據銳角三角函數的定義即可求出sinB的值；
②過D作DE⊥x軸于點E，由等腰直角三角形的性質可知NE=EM，DN=DM，再根據兩點之間的距離公式可知DE=c，根據c＞0可得出c的值，由勾股定理可求出a、b的值，進而可得出結論．