Question

4．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是直徑，sinB=$\frac{5}{34}$$\sqrt{34}$．
（1）求AD：AC的值；
（2）若△AOC的面積為15，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）連接CD，根據(jù)圓周角定理得出∠ACD=90°，∠ADC=∠B，根據(jù)sinB=$\frac{5}{34}$$\sqrt{34}$得出sin∠ACD=$\frac{AC}{AD}$=$\frac{5}{34}$$\sqrt{34}$，即可求得AD：AC=$\sqrt{34}$：5；
（2）根據(jù)勾股定理求得AC和CD的關(guān)系，然后根據(jù)三角形面積求得AC的長，即可求得AD的長．

解答 解：（1）連接CD，
∵AD是直徑，
∴∠ACD=90°，
∵∠ADC=∠B，
∴sinB=$\frac{5}{34}$$\sqrt{34}$=sin∠ACD=$\frac{AC}{AD}$，
∴AD：AC=$\sqrt{34}$：5；
（2）∵AD：AC=$\sqrt{34}$：5，
∴AD=$\frac{\sqrt{34}}{5}$AC，
∵AC²+CD²=AD²，
∴AC²+CD²=$\frac{34}{25}$AC²，
∴CD=$\frac{3}{5}$AC，
∴△AOC的面積為15，
∴△ACD的面積為30，
∴$\frac{1}{2}$AC•CD=30，
∴$\frac{1}{2}$AC•$\frac{3}{5}$AC=30，
∴AC=10，
∴AD=$\frac{\sqrt{34}}{5}$AC=2$\sqrt{34}$．

點評 本題考查了圓周角定理、勾股定理、解直角三角形等，找出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．