Question

如圖，半徑為1的⊙O₁與x軸交于A、B兩點(diǎn)，圓心O₁的坐標(biāo)為（2，0），二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為F．
（1）求b，c的值及二次函數(shù)頂點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）將二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象先向下平移1個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，設(shè)平移后圖象的頂點(diǎn)為C，在經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)D（0，-3）的直線l上是否存在一點(diǎn)P，使△PAC的周長(zhǎng)最��？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由題意得，A（1，0），B（3，0），
則有．
解得
∴二次函數(shù)的解析式為y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1．
∴頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，1）．

（2）將y=-（x-2）²+1平移后的拋物線解析式為y=-x²，其頂點(diǎn)為C（0，0）．
∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，0）和點(diǎn)D（0，-3），
∴直線l的解析式為y=x-3．
作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A₁，連接BA₁、CA₁，
∴AA₁⊥直線l，
設(shè)垂足為E，則有A₁E=AE，
由題意可知，∠ABE=45°，AB=2，
∴∠EBA₁=45°，A₁B=AB=2．
∴∠CBA₁=90°．
過(guò)點(diǎn)A₁作CD的垂線，垂足為F，
∴四邊形CFA₁B為矩形．
∴FA₁=OB=3．
∴A₁（3，-2）．
∴直線CA₁的解析式為．
∵的解為
∴直線CA₁與直線l的交點(diǎn)為點(diǎn)P（，-）．
分析：（1）已知圓心O₁的坐標(biāo)為（2，0），半徑為1，可知A（1，0），B（3，0），將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可求b、c的值，將拋物線解析式寫成頂點(diǎn)式，可求頂點(diǎn)F坐標(biāo)；
（2）由（1）可知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（0，0），易求直線l的解析式為y=x-3，根據(jù)直線l的特殊性，可求點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A₁的坐標(biāo)，再求直線CA₁的解析式，將直線CA₁的解析式與直線l的解析式聯(lián)立，解方程組可求P點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式的方法，平移，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)的確定，以及直線解析式的確定方法，求直線交點(diǎn)坐標(biāo)的問(wèn)題．