Question

【題目】如圖，銳角△ABC的兩條高BD與CE相交于點(diǎn)O，且OB＝OC，連接AO．

（1）求證：∠ABC＝∠ACB；

（2）求證：AO垂直平分線段BC．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由OB=OC，即可求得∠OBC=∠OCB，又由，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，即可證得結(jié)論．
（2）首先連接AO并延長(zhǎng)交BC于F，通過(guò)證△AOB≌△AOC（SSS），得到∠BAF=∠CAF，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．

（1）證明：∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O，

∴∠BEC＝∠CDB＝90°，

∵∠BEC+∠BCE+∠ABC＝∠CDB+∠DBC+∠ACB＝180°，

∴180°﹣∠BEC﹣∠BCE＝180°﹣∠CDB﹣∠CBD，

∴∠ABC＝∠ACB，

（2）證明：AO垂直平分線段BC．

理由：連接AO并延長(zhǎng)交BC于F，

∵∠ABC＝∠ACB，

∴AB=AC

在△AOB和△AOC中，

，

∴△AOB≌△AOC（SSS）．

∴∠BAF＝∠CAF，

∵AB＝AC，

∴AO垂直平分線段BC．