Question

1．在平面直角坐標(biāo)系中如圖，已知點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以線段AP為一邊，在其右側(cè)作等邊三角形APQ，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O處時(shí)，記Q的位置為B，已知在直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即直角三角形兩直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，則a²+b²=c²．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）在坐標(biāo)軸是否存在一點(diǎn)G，△GOB為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出G點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)（P不與O重合）時(shí)，∠ABQ的值會(huì)發(fā)生怎樣的變化，證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）如圖，作輔助線；證明∠BOC=30°，OB=2，借助直角三角形的邊角關(guān)系即可解決問題；
（2）分類討論：點(diǎn)G位于x軸和y軸兩種情況；
（3）證明△APO≌△AQB，得到∠ABQ=∠AOP=90°，即可解決問題．

解答 解：（1）如圖，過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，
∵△AOB為等邊三角形，且OA=2，
∴∠AOB=60°，OB=OA=2，
∴∠BOC=30°，而∠OCB=90°，
∴BC=$\frac{1}{2}$OB=1，OC=$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（$\sqrt{3}$，1）；

（2）當(dāng)點(diǎn)G位于x軸上時(shí)，①OG=OB，此時(shí)G點(diǎn)的坐標(biāo)為（±2，0）；
②OB=BG，此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，0）；
③OG=BG，此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0）；
當(dāng)點(diǎn)G位于y軸上時(shí)，①OG=OB，此時(shí)G點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，±2）；
②OB=BG，此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，2）；
③OG=BG，此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，2）；
綜上所述，符合條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)為：（±2，0）或（2$\sqrt{3}$，0）或（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0）或（0，±2）；

（3）∠ABQ=90°，始終不變．理由如下：
∵△APQ、△AOB均為等邊三角形，
∴AP=AQ、AO=AB、∠PAQ=∠OAB，
∴∠PAO=∠QAB，
在△APO與△AQB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AQ}\\{∠PAO=∠QAB}\\{AO=AB}\end{array}\right.$，
∴△APO≌△AQB（SAS），
∴∠ABQ=∠AOP=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，注意利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．