Question

2．由四個相同的小正方形拼成如圖，能否將連續(xù)的24個自然數(shù)分別放在圖中所示的24個黑點處（每處放一個，每個數(shù)只使用一次）使得圖中所有正方形邊上所放的數(shù)之和都相等？若能，請給出一個例子；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 不能，設(shè)放的最小的自然數(shù)為a，則放的最大的自然數(shù)為a+23，得到這24個自然數(shù)的和為A=12（2a+23）．假設(shè)可能，設(shè)每個正方形邊上所放的數(shù)之和為S，因為共有5個正方形，這些和的和為5S，因為每個數(shù)在這些和中出現(xiàn)兩次，所以5S=2A，記最小的16個數(shù)的和為B，則B=8（2a+15），再分兩種情況討論：（1）B≤S；（2）B＞S即可求解．

解答 解：不能，
設(shè)放的最小的自然數(shù)為a，則放的最大的自然數(shù)為a+23，
那么，這24個自然數(shù)的和為A=24a+276=12（2a+23）．
假設(shè)可能，每個正方形邊上的數(shù)之和為S，
因為共有5個正方形，所以這些正方形的數(shù)字的和為5S，
我們發(fā)現(xiàn)每個數(shù)在這些和中出現(xiàn)兩次，所以5S=2A，
記最小的16個數(shù)的和為B，則B=8（2a+15），
①B≤S，則S=$\frac{2}{5}$A=$\frac{24}{5}$（12a+23）≥8（2a+15），即9.8a+110.4≥16a+120，
不存在自然數(shù)a使不等式成立；
②B＞S，因為此時不可能選擇最大正方形邊上的16個數(shù)字使16個數(shù)的和等于S，
所以，也不可能．

點評 本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖以及數(shù)字和的問題，運用了整體思想和分類思想，有一定的難度．